对顶角

在几何学中，对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。

相交直线产生的对顶角

对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。

用数学语言描述就是（如右图）：

设直线AD、BC交于点O。则形成四个角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中，∠AOB和∠COD互为对顶角，∠AOC和∠BOD互为对顶角。∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。

历史

古希腊数学家泰勒斯。

泰勒斯生于希腊，是一位擅长于几何学的数学家及哲学家。他一生发现了多个几何学定理，包括等腰三角形中的“等边对等角”定理，也包括对顶角定理。

对顶角定理的证明

设直线AD、BC交于点O，那么，∠AOB和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质，

${\displaystyle \angle AOB+\angle AOC=\pi }$

其中${\displaystyle \pi }$是一个平角的弧度数。

类似地，∠COD和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质，

${\displaystyle \angle COD+\angle AOC=\pi }$

因此，${\displaystyle \angle AOB+\angle AOC=\pi =\angle COD+\angle AOC}$

两边减去相同的角度${\displaystyle \angle AOC}$ 后，就得到

${\displaystyle \angle AOB=\angle COD}$。

同样地，可以证明${\displaystyle \angle AOC=\angle BOD}$。

用途

一对全等三角形。

对顶角通常用于测量角度以及证明全等三角形。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子：

如右图，已知AB=CD，∠BAE=∠CDE。求证：${\displaystyle \triangle ABE\cong \triangle DCE}$。

证明：在△ABE与△DCE中，

${\displaystyle {\begin{cases}\angle BAE=\angle CDE\\\angle AEB=\angle CED\\AB=DC\end{cases}}}$

因此，${\displaystyle \triangle ABE\cong \triangle DCE}$。

在以上证明中，∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意，在一般的几何证明中，对顶角定理并不需要显式地叙述出来，可以当作是默认的条件。

相关条目

• 补角
• 三线八角

参考资料

• http://www.math.ied.edu.hk/ykman/history/Ref/maths.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆） 数学家资料