中值定理

在数学分析中，中值定理（英语：mean value theorem）大致是讲，给定平面上固定两端点的可微曲线，则这曲线在这两端点间至少有一点，在这点该曲线的切线的斜率等于两端点连结起来的直线的斜率。^{[注 1]}

提示：此条目页的主题不是介值定理。

更仔细点讲，假设函数 ${\displaystyle f}$ 在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 连续且在开区间 ${\displaystyle (a,b)}$ 可微，则存在一点${\displaystyle c,\,a<c<b}$，使得

$${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$$

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理

微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端点的可微曲线，两端点之中必然有一点，它的斜率与连接两端点的直线斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

当提到中值定理时在没有特别说明下一般指拉格朗日中值定理。

罗尔中值定理

罗尔定理的几何意义

主条目：罗尔定理

如果函数${\displaystyle f(x)}$满足

1. 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续；
2. 在开区间${\displaystyle (a,b)}$内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即${\displaystyle f(a)=f(b)}$，

那么在${\displaystyle (a,b)}$内至少有一点${\displaystyle \xi (a<\xi <b)}$，使得$${\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}$$

这个定理称为罗尔定理。

拉格朗日中值定理（中值定理）

拉格朗日中值定理的几何意义

主条目：拉格朗日中值定理

令${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$为闭区间${\displaystyle [a,b]}$上的一个连续函数，且在开区间${\displaystyle (a,b)}$内可导，其中${\displaystyle a<b}$。那么在${\displaystyle (a,b)}$上存在某个${\displaystyle c}$使得

$${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$$

此定理称为拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推广一点。只需假设 ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 连续，且在开区间 ${\displaystyle (a,b)}$ 内对任意一点 ${\displaystyle x}$，极限

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于${\displaystyle f'(x)}$。这版本定理应用的一个例子是函数 ${\displaystyle x\to x^{1/3}}$，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是复数而不是实数，则上面这定理就未必正确。例如，对实数 ${\displaystyle x}$ 定义${\displaystyle f(x)=e^{ix}}$。那么

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)}$

因${\displaystyle |f'(x)|=1\neq 0}$ 时，${\displaystyle c}$ 为开区间 ${\displaystyle (0,2\pi )}$ 中任意一点。

柯西中值定理

主条目：柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其叙述为：如果函数 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 都在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上连续，且在开区间 ${\displaystyle (a,b)}$ 上可导，那么存在某个${\displaystyle c\in (a,b)}$，使得

柯西定理的几何意义

$${\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,}$$

当然，如果${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ 且 ${\displaystyle g(c)\neq 0}$，则可表示成：

$${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$$

在几何上，这表示曲线 $${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$$ 上存在一点其切线平行于由两点（${\displaystyle f(a),g(a)}$）和（${\displaystyle f(b),g(b)}$）所连接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下这种切线都存在，因为可能存在一些${\displaystyle c}$值使${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

$${\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}$$

在区间${\displaystyle [-1,1]}$上，曲线由${\displaystyle (-1,0)}$到${\displaystyle \left(1,0\right)}$，却并无一个水平切线，但在${\displaystyle t=0}$处有一个驻点（实际上是一个尖点）。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。拉格朗日中值定理是柯西中值定理当${\displaystyle g(t)=t}$时的特殊情况。

积分中值定理

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

积分第一中值定理

设${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$为一连续函数，${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$要求${\displaystyle g(x)}$是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点${\displaystyle \xi \in (a,b)}$使得

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$。

证明

在不失去一般性的条件下，设对所有${\displaystyle x}$，有${\displaystyle g(x)\geq 0}$； 因为${\displaystyle f}$是闭区间上的连续函数，${\displaystyle f}$取得最大值${\displaystyle M}$和最小值${\displaystyle m}$。于是 ${\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$

对不等式求积分，我们有 ${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$。 若${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0}$，则${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0}$。${\displaystyle \xi }$可取${\displaystyle [a,b]}$上任一点。

若不等于零那么${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx>0}$， $${\displaystyle m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M}$$ 因为${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$是连续函数，根据介值定理，则必存在一点${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使得 ${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}$

${\displaystyle g(x)<0}$的情况按同样方法证明。

积分第一中值定理推论的几何意义

推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令${\displaystyle g(x)=1}$，则可得出：

设${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$为一连续函数，则∃${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使

$${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}$$

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设${\displaystyle F(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上可导，${\displaystyle f(x)=F^{\prime }(x)}$，则∃${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使

$${\displaystyle f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}$$

积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容

若${\displaystyle f,g}$在${\displaystyle [a,b]}$上黎曼可积且${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上单调，则存在${\displaystyle [a,b]}$上的点ξ使 $${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}$$

退化态的几何意义

第二积分中值定理退化形式的几何意义

令${\displaystyle g(x)=1}$，则原公式可化为： ${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}$ 进而导出： $${\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}}$$

此时易得其几何意义为： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

应用

关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

注释

1. 这个定理有两种翻译：均值定理跟中值定理，与数学分析中另一重要定理：介值定理（intermediate value theorem）容易混淆

参见

• 罗尔定理
• 柯西中值定理
• 介值定理
• 极值定理