在数学物理学中,洛伦兹流形的因果结构是指流形中两点间的因果关系。
在现代物理学(特别是广义相对论)中,时空是用洛伦兹流形表示的。流形中两点之间的因果关系可以用来描述时空中哪些事件可以影响到其他的哪些事件。
闵可夫斯基时空是洛伦兹流形的简单代表。由于闵可夫斯基时空是平直的,因而其中两点之间的因果关系非常容易表示。
任意洛伦兹流形(可能是弯曲的)的因果结构由于曲率的存在会较为复杂。对于这些流形中的因果结构的讨论就得从有邻点对的光滑曲线的角度来描述:首先讨论曲线切向量的各种情况,然后给出因果关系的定义。
如果是一个洛伦兹流形(流形的度规为),那么这个流形上任意点的切向量就可以分为下属三种情况:
- 类时向量:
- 零向量或类光向量:
- 类空向量:
(度规的符号数为)。如果一个切向量是零向量或类时向量,那么它就是“非类空向量”。这里对各种切向量的命名方式是从闵可夫斯基时空中的情况推广而来的。
流形中的两个点和有以下几类因果关系:
- 时序上先于(常记为):从到存在一条指向未来的时序曲线。
- 因果上严格先于(常记为):从到存在一条指向未来的因果(非类空)曲线。
- 因果上先于(常记为或):因果上严格先于或。
- 定义(horismos)[2](常记为或):且。
这些关系是可以传递的:[3]
- 如果且,那么。
- 如果且,那么。
且满足[3]
- 如果,那么。
- 如果且,那么。
- 如果且,那么。
对于流形中的一点可以定义:[3]
- 时序上的未来(记作):(中所有在时序上后于的点组成的集合)。
- 时序上的未来(记作):(中所有在时序上先于的点组成的集合)。
类似还可以定义:
- 因果上的未来(也可以称作“绝对未来”,记作):(中所有在因果上后于的点组成的集合)。
- 因果上的过去(也可以称作“绝对过去”,记作):as(中所有在因果上先于的点组成的集合)。
从可以通过一条指向未来的类时曲线到达中的任意点。类似地,还可以从中任意点通过一条指向未来的非类空曲线到达。
在闵可夫斯基时空中,就是处未来光锥的内部点组成的集合,而就是处未来光锥的内部点及光锥上的点组成的集合。
中任意的、、以及就是的因果结构。
对于的子集可以定义:[3]
对于的两个子集与可以定义:
- 相对于的时序上的未来(记作):子流形中的时序未来。需要注意这个概念与之间的差别(中可以从中的点通过指向未来的类时曲线到达的点的集合)。在第一种概念中,那条曲线必须在里面,而第二种则不用。
- 相对于的因果上的未来(记作):子流形中的因果未来。需要注意这个概念与之间的差别(中可以从中的点通过指向未来的因果曲线到达的点的集合)。在第一种概念中,那条曲线必须在里面,而第二种则不用。
- 未来集:在时序未来中的闭集。
- 过去集:在时序过去中的闭集。
- 不可分解过去集:不是由两个不同的开放真子集组成的并集的过去集。
- 不可分解过去真子集:。
- 不可分解过去端集(terminal indecomposable past set):不是不可分解过去真子集的不可分解过去集。
- 的未来柯西发展(future Cauchy development,):所有不可伸展的指向过去的因果曲线与的交点(至少穿过一次)组成的集合。类似还可定义过去柯西发展。柯西发展是未来柯西发展与过去柯西发展的并集。柯西发展对于决定论研究非常重要。
- 子集与时间无关(achronal),当不存在使,或等价地,当与无交集。
- 柯西面是柯西发展为的时间无关闭集。
- 度规如果可以展开成一层层柯西面,那它就是全局双曲的。
- 时序破坏集(chronology violating set):闭合类时曲线经过点组成的集合。
- 因果破坏集(casual violating set):闭合类时曲线经过点组成的集合。
- 对于因果曲线,其因果核(causal diamond)定义为(这里我们将“曲线”宽泛地定义为点集)。换句话说,一个粒子的世界线的因果核是上同时在某点过去以及未来的事件集合。
两个度规和在对实函数(共形因子)存在时是共形相关的。[5]
考察对类时(零或类空)切向量的定义,可以得到无论使用还是时,它们不会发生改变。比如,切向量在使用度规时是类时的,也就是说,那么。因此在使用度规时也是类时的。
由此可以得到,一个洛伦兹流形的因果结构不受共形变换的影响。
- Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R., The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge: Cambridge University Press, 1973, ISBN 0-521-20016-4
- Hawking, S.W.; Israel, W., General Relativity, an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, 1979, ISBN 0-521-22285-0
- Penrose, R., Techniques of Differential Topology in Relativity, SIAM, 1972, ISBN 0898710057