单项式

数学上的单项式（英语：Monomial）是指只有一项的多项式。如${\displaystyle x^{2}}$、${\displaystyle x}$都是单项式。

单项式有两种不同的定义：

1. 单项式，也称为幂乘积，是各变数自然数幂次的乘积，也可以说是变数之间的乘积，变数可能会重复出现，例如${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$即为单项式。常数${\displaystyle 1}$也是单项式，等于空积，也等于${\displaystyle x^{0}}$，${\displaystyle x}$可以对应任意变数。若只考虑单变数${\displaystyle x}$，则其单项式可能是${\displaystyle 1}$或是${\displaystyle x}$的幂次${\displaystyle x^{n}}$，其中${\displaystyle n}$为正整数。若考虑多个变数，如${\displaystyle x,y,z,}$，每一个变数都可能有其幂次，因此单项式会是${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$，其中${\displaystyle a,b,c}$是非负整数^{[注 1]}。
2. 单项式也可以是上述定义的单项式，乘以一个非零的常数，称为单项式的系数。第一种定义下的单项式是这种定义当中，系数为${\displaystyle 1}$的特例。例如${\displaystyle -7x^{5}}$和${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$都是单项式（第二例中，变数是${\displaystyle x,y,z,}$，且其系数是复数）。

若在讨论洛朗多项式（英语：Laurent polynomial）和洛朗级数时，单项式的幂次可以是负数，若在讨论皮瑟级数（英语：Puiseux series）时，幂次可以是有理数。

二种定义的比较

在上述两种定义中，单项式都是多项式中的子集，且具有乘法封闭性。

在文献中这两种定义都有出现，在许多应用中可以忽略这两种定义之间的差异，这里有些第一个定义^[1]，以及第二个定义的例子^[2]。在非正式的讨论中不太需要区分其差异。一般是倾向使用范围较广的第二个定义。不过在研究多项式结构时，一般会需要用到第一个定义。例如在考虑多项式环的单项基函数（英语：monomial basis），或是此一基底的単项式顺序（英语：monomial order）。

以下的“单项式”会以上述的第一个定义为准。

单项基函数

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所有的多项式都是单项式的线性组合，因此形成多项式向量空间的基，称为单项基函数（monomial basis）。

标示

在偏微分方程中常需要标示单项式。若用的变数是像${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ...之类用下标区隔的变数，则可以用多重指标表示，例如

${\displaystyle \alpha =(a,b,c)}$

可以定义

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}}$

以简化标示。

注释

1. 其中若指数为${\displaystyle 0}$，对应的幂次乘积会等于1

相关条目

• 单项表示（英语：Monomial representation）
• 单项矩阵（英语：Generalized permutation matrix）
• 齐次多项式
• 齐次函数
• 多重线性形式
• 双对数坐标系
• 幂定律
• 稀疏多项式（英语：Sparse polynomial）

参考资料

1. Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.
2. Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4