勒文海姆–斯科伦定理

在数理逻辑中，经典勒文海姆–斯科伦定理（Löwenheim–Skolem theorem）声称对于标识（signature）为 ${\displaystyle <\mathbf {C} ,\mathbf {F} ,\mathbf {R} ,\sigma >}$ 的任何可数一阶逻辑语言 L 和 L-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 N ${\displaystyle \subseteq }$ M。 这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 L-理论都有可数的模型。

这里的标识由常量集合 ${\displaystyle \mathbf {C} }$、函数集合 ${\displaystyle \mathbf {F} }$、关系符号集合 ${\displaystyle \mathbf {R} }$、和表示函数和关系符号的元数的函数 ${\displaystyle \sigma :\mathbf {F} \cup \mathbf {R} \rightarrow \mathbb {N} }$ 组成。在这个上下文中 L-结构，由底层集合(经常指示为“M”)和 L 的函数和关系符号的释义组成。L 的常量在 M 中的释义就是 M 的成员。类似的，${\displaystyle \sigma (f)\ }$-元函数 ${\displaystyle f\in \mathbf {F} }$ 被指派为 M 中的 ${\displaystyle \sigma (f)\ }$-元函数 ${\displaystyle M^{\sigma (f)}\rightarrow M}$ 的图，而${\displaystyle \sigma (R)\ }$-元关系 ${\displaystyle R\in \mathbf {R} }$ 的释义被指派为 M 中的 ${\displaystyle \sigma (R)\ }$-元关系。语言 L 是可数的，如果在 L 中的常量、函数和关系符号是可数的。

例子

一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系 "<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子；最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的所有一阶句子。(作为可数的有序域，它不能满足最小上界公理)。例如，特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子，因此在断言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。

数学家考虑的多数数学结构，特别是多数范畴的多数成员，是这里定义意义上的模型。勒文海姆–斯科伦定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。

证明梗概

对于在模型 M 中为真的如下形式的一阶句子

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ R(x,y)}$

或

${\displaystyle \forall x_{1}\ \cdots \ \forall x_{n}\ \exists y_{1}\ \cdots \ \exists y_{m}R(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})}$

有一个Skolem 函数 f，就是说映射 x 到断言了其存在的 y 的函数，使得

${\displaystyle \forall x\ R(x,f(x))}$

在 M 中为真。因为有很多这样的 y 的值，必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。

这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义，就是说，它们的存在被如下形式的句子所断言

${\displaystyle \exists y_{1}\ \cdots \ \exists y_{m}R(y_{1},\dots ,y_{m})}$

并且因为只有可数多个一阶公式，只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。

证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合，并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。

更一般的 "勒文海姆–斯科伦定理"

上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的勒文海姆–斯科伦定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在(“向下”勒文海姆–斯科伦定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上”勒文海姆–斯科伦定理)。

勒文海姆-斯科伦定理在一阶逻辑中的定义和证明

勒文海姆-斯科伦定理: 如果 ${\displaystyle \Delta }$ 是一个含有有限可数个数的命题组成的集合，并且集合 ${\displaystyle \Delta }$ 是可以满足的(${\displaystyle \Delta }$ SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派，或叫作解释 (Interpretation)) 用符号记作 I, ${\displaystyle I\models \Delta }$ ,且这个模型 I 指派解释也是可数的

证明:

前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 ${\displaystyle \Delta }$，且${\displaystyle \phi \in \Delta }$,${\displaystyle \phi }$是${\displaystyle \Delta }$中的命题公式

如果我们有一个集合，用字母记作 S ,并且 ${\displaystyle S=\bigcup _{\phi \in \Delta }CL(\phi )}$，其中集合 ${\displaystyle CL(\phi )}$是由命题公式${\displaystyle \phi }$转换成子句结构(Clause)所组成的集合，我们有一个定理(记作Th): 如果${\displaystyle \psi }$是可满足式的(Satisfaisable)公式，当且仅当Clause(${\displaystyle \psi }$)也是可满足式的，通过这个定理，我们确保S是可满足的，并且也是可数的

如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合，记作${\displaystyle E_{=}}$(该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是${\displaystyle \phi }$在转化成Clause(${\displaystyle \phi }$)过程中，去除有限量词${\displaystyle \exists }$的方法Skolemisation,化为Skolem范式)

那么很显然 ${\displaystyle S\bigcup E_{=}}$ 也是可满式的集合，那么 ${\displaystyle IF(S\bigcup E_{=})}$ 同样是可满足的

由于语言集合L中的元素是可数的 所以${\displaystyle IF(S\bigcup E_{=})}$ 是也是有限可数的集合

如果我们有一个模型，记作 I 且 ${\displaystyle I\models IF(S\bigcup E_{=})}$,赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且${\displaystyle M\models S\bigcup E_{=}}$，那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项)，那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite)

由于我们说语言理合L是可数的，那么指派解释域D也是可数的

那么我们可以构造另一个模型M'，并且基于解释域 ${\displaystyle D/M_{=}}$(我们通过等价关系来指派解释等价性)且${\displaystyle M'\models S}$,那么M'必然也是可数的，那么根据Th定理，${\displaystyle M'\models S}$ ,那么我们就可以说 ${\displaystyle M'\models \Delta }$

所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理

参见

• Skolem悖论
• 模型论

引用

• Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
• María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
• Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC