有序域

在数学的一个分支代数中，有序域是一个全序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。

定义

一个满足下面两个条件的、拥有全序关系${\displaystyle \leq }$的域${\displaystyle (K,+,\cdot )}$被定义为有序域：对于任何${\displaystyle K}$中的元素${\displaystyle a,b,c}$以下两个条件获得满足：

• 若${\displaystyle a\leq b}$，则${\displaystyle a+c\leq b+c}$。
• 若${\displaystyle 0\leq a}$且${\displaystyle 0\leq b}$，则${\displaystyle 0\leq a\cdot b}$。

大于0的元素被称为是正的，小于0的元素被称为是负的。

特性

由以上定义可以直接推导出以下特性（${\displaystyle a,b,c,d}$是${\displaystyle K}$的元素）：

• 一个正的元素的负数是负的，一个负的元素的负数是正的：即任何${\displaystyle K}$中的${\displaystyle a}$，假如${\displaystyle a\neq 0}$则${\displaystyle -a<0<a}$或${\displaystyle a<0<-a}$。
• 不等式可以相加：${\displaystyle a\leq b}$和${\displaystyle c\leq d}$则${\displaystyle a+c\leq b+d}$。
• 不等式可以与正元素相乘：${\displaystyle a\leq b}$和${\displaystyle 0\leq c}$则${\displaystyle ac\leq bc}$。
• 平方数不是负的：${\displaystyle 0\leq a^{2}}$，尤其${\displaystyle 0<1}$。
• 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的：${\displaystyle 0<1+1+\cdots +1}$。

结构

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性${\displaystyle 0<1+1+\cdots +1}$。

每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同构，且这个子域的排序与${\displaystyle \mathbb {Q} }$一致。

假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话，则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的，而超实数则不具有。

有序域${\displaystyle K}$的排序可用来定义${\displaystyle K}$的拓扑空间，这个拓扑空间可由${\displaystyle \{x\in K\mid x<a\}}$和${\displaystyle \{x\in K\mid x>a\}}$作为准基来生成，称之为序拓扑。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

例子

• 有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$组成最小的有序域
• 实数${\displaystyle \mathbb {R} }$和其中的任何部分域
• 超实数