九面体

在几何学中，九面体是指由9个面组成的多面体，而边长全部等长的九面体是七角柱是一种半正多面体。在九面体中，四角锥柱和它的对偶多面体都是九面体。

九面体

部分的九面体
三维的关联多面体（英语：Associahedron）	四方半偏方面体
双三角锥柱	正四角锥柱
七角柱	正四角锥柱的对偶

凸九面体

在所有凸九面体中，包含镜射像共有2606种拓朴结构明显差异的凸九面体^[1][2]。其中有8种具有7个顶点、74种具有8个顶点、296种具有9个顶点、633种具有10个顶点、768种具有11个顶点、558种具有12个顶点、219种具有13个顶点和50种具有14个顶点的凸九面体。这些数据最早纪录在托马斯·柯克曼（英语：Thomas Kirkman）于1870年代出版的书籍中^[3]。

常见的九面体

常见的九面体有七角柱、八角锥、双三角锥柱等多面体。

七角柱

正七角柱

主条目：七角柱

七角柱是一种底面为七边形的柱体，是九面体的一种，由9个面21条边和14个顶点组成^[4]，对偶多面体为双七角锥^[5]。正七角柱代表每个面都是正多边形的七角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个七边形的公共顶点，因此具有每个角等角的性质，可以归类为半正九面体。而顶点都是2个正方形和1个七边形的公共顶点的这种顶角，在顶点图中以${\displaystyle 4{.}4{.}7}$表示。正七角柱在施莱夫利符号中可以利用{7}×{} 或 t{2, 7}来表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用来表示；在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 7 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P7来表示。若一个正七角柱底边的边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$，则其体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[6]：

${\displaystyle V={\frac {7hs^{2}\cos {\frac {\pi }{7}}}{4}}\approx 3.63391hs^{2}}$

${\displaystyle A=7s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{7}}\right)\approx 7s\left(h+1.03826s\right)}$

八角锥

八角锥

八角锥是一种底面为八边形的锥体，是九面体的一种，其由9个面、16条边和9个顶点组成^[7]，对偶多面体是自己本身^[8]。正八角锥是一种底面为正八边形的八角锥。若一个正八角锥底边的边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$，则其体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[8]：

${\displaystyle V={\frac {2hs^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}}{3}}\approx 1.60948hs^{2}}$

${\displaystyle S=2s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{8}}}}+s\cot {\frac {\pi }{8}}\right)\approx 2s\left({\sqrt {4h^{2}+5.82843s^{2}}}+2.41421s\right)}$

九面体图

最小的等谱多面体图是一对九面体图

顶点最少且邻接矩阵有特征值相等之多重集的两个图是一组九面体图，也就是说最小的等谱多面体图是一对九面体图^[9]，其有八个顶点。

空间充填九面体

透过切割菱形十二面体的其中四个面的长对角线可以得到一个自身对偶的九面体，即具有大正方形面、四个菱形面和4个等腰三角形面的四方半偏方面体。如同菱形十二面体，这个九面体同样可以完全堆满三维空间^[10]。

戈德堡在1982年发现至少有40拓扑不同的空间充填九面体^[11]。

九面体列表

名称	种类	图像	符号	顶点	边	面	χ	面的种类	对称性	展开图
七角柱	棱柱体		t{2,7} {7}x{}	14	21	9	2	2个七边形 7个矩形	D7h, [7,2], (*722), order 28
八角锥	棱锥体		( )∨{8}	9	16	9	2	1个八边形 8个三角形	C8v, [8], (*88)
四角锥柱	角锥柱 詹森多面体		P4+Y4	9	16	9	2	4个三角形 5个正方形	C4v, [4], (*44)
四角锥台锥	截角双锥			9	16	9	2	1个四边形 4个梯形 4个三角形	C4v, [4], (*44)
截顶角四方偏方面体	截顶角偏方面体			13	20	9	2	1个正方形 4个五边形 4个筝形	C4v, [4], (*44)

扭歪九面体

扭歪九面体是指面与顶点并不存在同一个三维空间而无法确定体积的九面体，扭歪九面体仅能存在于四维或以上的空间。

而扭歪九面体的一个例子为四角四片三角孔扭歪正九面体，其由9个正方形组成，可由三角三角柱体柱（英语：3-3 duoprism）移除所有三角形面来构造。

参考文献

1. Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. Counting polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） numericana.com [2016-1-10]
3. Biggs, N.L., T.P. Kirkman, mathematician, The Bulletin of the London Mathematical Society, 1981, 13 (2): 97–120, MR 0608093, doi:10.1112/blms/13.2.97.
4. David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D7h Symmetry: Heptagonal Prism. [2022-09-14]. （原始内容存档于2022-09-14）.
5. David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D7h Symmetry: Heptagonal Dipyramid. [2022-09-14]. （原始内容存档于2022-09-14）.
6. Wolfram, Stephen. Heptagonal prism. from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-09-14]. （原始内容存档于2022-09-14）.
7. David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with C8v Symmetry: Octagonal Pyramid. [2022-09-14]. （原始内容存档于2022-09-14）.
8. Wolfram, Stephen. "Octagonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
9. Hosoya, Haruo; Nagashima, Umpei; Hyugaji, Sachiko, Topological twin graphs. Smallest pair of isospectral polyhedral graphs with eight vertices, Journal of Chemical Information and Modeling, 1994, 34 (2): 428–431, doi:10.1021/ci00018a033.
10. Critchlow, Keith, Order in space: a design source book, Viking Press: 54, 1970.
11. Goldberg, Michael, On the space-filling enneahedra, Geometriae Dedicata, 1982, 12 (3): 297–306, doi:10.1007/BF00147314.