五复合立方体

在几何学中，五复合立方体，是一种由五个立方体组合成的复合多面体，其索引编号为UC₉，是唯一五种正复合体之一^[3]，亦是一种星形多面体。埃德蒙·赫斯在1876年首先描述了该几何结构。

五复合立方体

五复合立方体，每个立方体以不同颜色表示
类别	复合正多面体 星形菱形三十面体
对偶多面体	五复合正八面体
识别
名称	五复合立方体
参考索引	UC5
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	2{5,3}[5{4,3}][2]
性质
体	5
面	30
边	60
顶点	20
欧拉特征数	F=30, E=60, V=20 （χ=-10）
组成与布局
复合几何体数量	5
复合几何体种类	5个立方体
面的种类	30个正方形
对称性
对称群	二十面体群 (Ih)
图像
星状图（英语：Stellation_diagram） 星状（英语：Stellation）核 凸包 正二十面体 正十二面体
查 论 编

五复合立方体的对偶多面体是五复合正八面体。

构造

拥有二十面体对称五复合立方体可以由以原点为中心、面向轴的第一个立方体开始构造，其余的立方体则透过轴${\displaystyle (1,\phi ,0)}$旋转${\displaystyle -{\frac {2n\pi }{5}}}$弧度来构造，毕依这加入顺序决定角度值中的n，例如第二个立方体n=1、第三个立方体n=2以此类推。

性质

五复合立方体为五个立方体组合成的形状，因此其边、面和顶点的数量基本上应该会是立方体的5倍，但因为部分顶点是重合的，因此其仅有30个面、60条边和20个顶点。

五复合立方体中可以找到菱形三十面体中的30个菱形^[4][5]。

结构

五复合立方体可以视为正十二面体刻面（英语：faceting）后的多面体，在正十二面体凸包中每个立方体定位在12个顶点中的其中8个顶点。

顶点坐标

由于五复合立方体可以看作是在正十二面体中嵌入立方体，因此其顶点坐标与正十二面体相同：

(±1, ±1, ±1)

(0, ±1/ϕ, ±ϕ)

(±1/ϕ, ±ϕ, 0)

(±ϕ, 0, ±1/ϕ)

其中ϕ = 1 + √5/2为黄金比例。

作为星形多面体

五复合立方体可以看作是一种菱形三十面体的星形多面体，即星形菱形三十面体^[6][7]。

星状图（英语：Stellation diagram）	星形	星状核	凸包
		菱形三十面体	正十二面体

棱排布

五复合立方体的凸包是正十二面体。其与一些凸包也是正十二面体的多面体有着相同的棱排布，例如小双三斜三十二面体、大双三斜三十二面体和双三斜十二面体。

a{5,3}	a{5/2,3}	b{5,5/2}
=	=
小双三斜三十二面体	大双三斜三十二面体	双三斜十二面体
正十二面体 (凸包)	五复合立方体	球面的五复合立方体

其他的五个立方体复合图形

亦有其他也由五个立方体组合成的形状，例如佛达里也斯的五复合立方体。这种形状是一个八面体对称的星形多面体。

参考文献

1. Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge, 1997. p 360
2. Harman, Michael G., Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, c. 1974 [2016-09-01], （原始内容存档于2013-07-31）.
3. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79: 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440.
4. Cundy, H. and Rollett, A. "Five Cubes in a Dodecahedron." §3.10.6 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 135–136, 1989.

1. H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
2. Regular Polytopes (1973)^[1] pp.49-50, p.98
3. Regular Polytopes (1973)^[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
4. Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. ISBN 978-0486409146 p. 199
5. Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 135 and 137, 1987. ISBN 978-0486253572
6. Weisstein, Eric W. (编). Compound of Five Cubes. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 161 and 185, 2002.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 五複合立方體. MathWorld.
• Hart, G. 五复合立方体的VRML模型：依立方体上色（页面存档备份，存于互联网档案馆）、一种颜色（页面存档备份，存于互联网档案馆）