中线定理

中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形两边和中线长度关系。它等价于平行四边形恒等式。

中线定理

对任意三角形${\displaystyle \triangle ABC}$，设${\displaystyle I}$是线段${\displaystyle {\overline {BC}}}$的中点，${\displaystyle {\overline {AI}}}$为中线，则有如下关系：

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,}$

证明

用莱布尼茨标量函数约简，可以容易导出这性质：只需要在两个平方中引入${\displaystyle I}$：

${\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}}$

得出

${\displaystyle |{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}}$

${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中点，因此${\displaystyle {\overrightarrow {IB}}}$和${\displaystyle {\overrightarrow {IC}}}$相反，可知式中两个标积抵消。又因${\displaystyle {\overline {IC}}={\overline {IB}}}$，得出

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,}$

另一个证法

这可能是阿波罗尼奥斯的证明方法，因为他不知道莱布尼茨函数。证明如下： 设${\displaystyle H}$是从${\displaystyle A}$到${\displaystyle BC}$的垂足，则${\displaystyle \triangle BHA}$和${\displaystyle \triangle AHC}$是直角三角形。用勾股定理可得

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,}$

所以

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,}$

把${\displaystyle BH}$和${\displaystyle HC}$用${\displaystyle BI}$和${\displaystyle IH}$表达出来（记得${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中点，因此${\displaystyle BI=IC}$）。注意到虽然现在的情形假设${\displaystyle H}$在线段${\displaystyle BI}$上，但其 他情形也可以用这个方法。

${\displaystyle {\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,}$

${\displaystyle {\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,}$

代入前式：

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,}$

${\displaystyle \triangle IHA}$是直角三角形(H为${\displaystyle \triangle ABC}$于${\displaystyle {\overline {BC}}}$之垂足) ，因此

${\displaystyle {\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,}$

代入前式得出

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,}$

中线的向量表达式

设${\displaystyle I}$是线段${\displaystyle BC}$的中点，则有${\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {AC}}=2{\vec {AI}}}$

中线的另一条定理

用标积表示${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}}$，其中${\displaystyle H}$是${\displaystyle A}$到线${\displaystyle BC}$的垂足。

从上得到中线的另一条定理${\displaystyle \left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH}$。

实际上

${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}}$投影在${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 上是${\displaystyle {\overrightarrow {HI}}}$，因而有${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {HI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}}$.

这两个共线向量的标积可等于${\displaystyle BC\times IH\,}$或其负数，因此取绝对值。

参见

• 闭凸集投影定理，中线定理是这定理的证明关键。
• 平行四边形恒等式