不可压缩流

在连续介质力学里，不可压缩流是流速的散度等于零的流动，更精确地称为等容流。这理想流动可以用来简化理论分析。实际而言，所有的物质多多少少都是可压缩的。“等容”这一术语指的是流动性质，不是物质性质；是说在某种状况，一个可压缩流体会有不可压缩流的动作。由于做了不可压缩这假设，物质流动的主导方程能够极大地简化。

不可压缩流遵守以下方程：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$ 是物质流动的速度。

根据连续方程，

${\displaystyle {\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \rho \,\!}$ 是物质密度。

以随体导数(material derivative)表达，

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} =-\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,\!}$ 。

由于 ${\displaystyle \rho >0\,\!}$ ，一个流动是不可压缩流，当且仅当

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0\,\!}$ 。

也就是说，随着物质元素的移动，质量密度是常数。

与压缩因子的关系

在某些学术领域，一个流动的不可压缩性质的度量，是由压强的变化而造成的密度改变给出。这最好以压缩因子 ${\displaystyle Z\,\!}$ 表达：

${\displaystyle Z={\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dp}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle p\,\!}$ 是压强。

假若压缩因子足够微小，则视此流动为不可压缩流。

与螺线矢量场的关系

一个不可压缩流的速度场 ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$ 是螺线矢量场，又称零散度场，其速度的散度等于零。不可压缩流的速度场 ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$ 可以表示为一矢势 ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$ 的旋度：

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$ 。

假设，这不可压缩流的速度的旋度也等于零，则其速度场也是无旋场。对于这状况 ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$ 是一个拉普拉斯矢量场(Laplacian vector field)，可以表示为一标势 ${\displaystyle \phi \,\!}$ 的梯度：

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \phi \,\!}$ 。

这标势 ${\displaystyle \phi \,\!}$ 满足拉普拉斯方程：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0\,\!}$ 。

不可压缩物质

不可压缩物质定义为，在任何位置 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 与时间，密度恒定的物质。以方程表达，

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=constant\,\!}$ 。

这意味着密度不会因时间而改变：

${\displaystyle {\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}=0\,\!}$ ，

而且，密度是均匀的：

${\displaystyle \nabla \rho =0\,\!}$ 。

从连续方程，可以推论

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\implies \nabla \cdot \mathbf {u} =0\,\!}$ 。

所以，不可压缩物质的流动永远是不可压缩流；但是，反过来推论则不正确。

参考文献

参阅

• 可压缩流(compressible flow)
• 泊肃叶定律