下限拓扑

数学上，下限拓扑是定义在实数集 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的拓扑。其不同于 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的标准拓扑（由开区间生成），且具有若干有趣的性质。其为全体半开区间 [a,b) 组成的基生成的拓扑，其中 a 和 b 取遍任意实数。

这样得到的拓扑空间称为Sorgenfrey直线（得名自 Robert Sorgenfrey（英语：Robert Sorgenfrey））或箭头，有时记为 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$. 与康托集和长直线类似，Sorgenfrey 直线也经常作为点集拓扑学中不少似是而非的命题的反例。

${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 与自身的积也是有用的反例，称为Sorgenfrey平面。

类似地，可以定义 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的上限拓扑，其性质与下限拓扑完全相同。

性质

• 下限拓扑比实数集的标准拓扑更精细（具有更多开集）。原因是每个开区间都可写成半开区间的可数并，故在下限拓扑中也是开集。
• 对任意实数 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$, 区间 ${\displaystyle [a,b)}$ 都是 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 的闭开集（既是开集，也是闭集）。而且，对任意实数 ${\displaystyle a}$, 集合 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$ 和 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$ 皆为闭开集。故 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 为完全不连通空间。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 的紧子集只能是可数集（允许是有限集）。要证明此结论，考虑非空紧集 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$. 取定 ${\displaystyle x\in C}$, 考虑 ${\displaystyle C}$ 的开覆盖：

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

由于 ${\displaystyle C}$ 为紧，此开覆盖具有有限子覆盖，故存在实数 ${\displaystyle a(x)}$ 使得区间 ${\displaystyle (a(x),x]}$ 不含 ${\displaystyle C}$ 除 ${\displaystyle x}$ 以外的点。这对任意 ${\displaystyle x\in C}$ 为真。现选取有理数 ${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$. 对不同的 ${\displaystyle x\in C}$, 区间 ${\displaystyle (a(x),x]}$ 两两不交，故函数 ${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$ 为单射，故 ${\displaystyle C}$ 至多可数。

• “下限拓扑”得名自以下性质：${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 中的序列（或网）${\displaystyle (x_{\alpha })}$ 收敛到 ${\displaystyle L}$ 当且仅当其“从右接近 ${\displaystyle L}$”，即对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，均存在下标 ${\displaystyle \alpha _{0}}$ 使得 ${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$. ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 因此可用于研究单侧极限：对函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f}$ 于 ${\displaystyle x}$ 之右极限（假定陪域具有标准拓扑），等于定义域在下限拓扑下 ${\displaystyle f}$ 于 ${\displaystyle x}$ 之一般极限。
• 就分离公理而言， ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是完美正规豪斯多夫空间（T₆ 空间）。
• 就可数性公理而言， ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是第一可数空间和可分空间，但并非第二可数空间。
• 就紧致性而言，${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是林德勒夫空间和仿紧空间，但并非σ-紧空间（英语：σ-compact space），也不是局部紧空间。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 不可度量化，因为可分的度量空间必为第二可数。然而，${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 的拓扑是由一个预度量给出。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是一个贝尔空间 ^[1]。

参考资料

1. Re: Baireness of Sorgenfrey line, more details (and more accurate). at.yorku.ca. [2018-07-05]. （原始内容存档于2011-06-04）.

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446