三等分角

三等分角是古希腊平面几何里尺规作图领域中的著名问题，与化圆为方及倍立方问题并列为尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”

三等分角无法按照尺规作图的规定作出，但如果借助另外的工具或放宽尺规作图的限制，三等分角是可行的

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案^[1] 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔（英语：Pierre Wantzel）首先利用伽罗瓦理论证明，这个问题的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度后，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被证明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。^[1]

背景简介

尺规作图法

主条目：尺规作图

在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是^[1]：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法^[1]：

• 通过两个已知点，作一直线。
• 已知圆心和半径，作一个圆。
• 若两已知直线相交，确定其交点。
• 若已知直线和一已知圆相交，确定其交点。
• 若两已知圆相交，确定其交点。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。^[1]

问题叙述

三等分角问题的完整叙述是^[2]：

“

任意给定一个角，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出另一个角，等于这个角的三分之一？

”

关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角AOB指的是由三点A, O, B以及线段AO和OB构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如α表示。两个角AOB和A'O'B'相等，指的是以下条件：如果将线段OA沿点A延长为射线，在上面作一点C使得OC ${\displaystyle =}$ O'A'，同时将线段OB沿点B延长为射线，在上面作一点D使得OD ${\displaystyle =}$ O'B'，则CD ${\displaystyle =}$ A'B'。

一个角α等于另一个角β的三分之一，指的是角β等于角α的三倍。而一个角AOB等于角AOC的k倍（k > 1为自然数），指的是可以找到点B₁, B₂, ... , B_k等，使得k个角AOB₁, B₁OB₂, ... , B_k-1OB_k都等于AOC，并且点B_k就是点B。

二等分角问题

尺规二等分任意角度的过程

与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

不可能性的证明

主条目：规矩数

1837年，法国数学家汪策尔证明了，三等分角问题是没有办法完成的^[3]:15。

三等分角问题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出将任意角度三等分的确实做法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的做法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔(全名:尼尔斯·阿贝尔)开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到三等分角问题的本质。

尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A，以OA为单位长度，射线OA为x-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

设E是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的一个非空子集。如果某直线${\displaystyle {\mathcal {l}}}$经过E中不同的两点，就说${\displaystyle {\mathcal {l}}}$是E-尺规可作的，简称E-可作。同样地，如果某个圆${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的圆心和圆上的某个点是E中的元素，就说${\displaystyle {\mathcal {C}}}$是E-可作的。进一步地说，如果${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$里的某个点P是某两个E-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点P是E-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有E-尺规可作的点的集合记作s(E)，那么当E中包含超过两个点的时候，E肯定是s(E)的真子集。从某个点集E₀开始，经过一步能作出的点构成集合E₁ ${\displaystyle =}$ s(E)，经过两步能作出的点就是E₂ ${\displaystyle =}$ s(E₁)，……以此类推，经过n步能作出的点集就是E_n ${\displaystyle =}$ s(E_n-1)。而所有从E能尺规作出的点集就是：

${\displaystyle C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}}$。^[4]:521

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E₀ ${\displaystyle =}$ {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合：H ${\displaystyle =}$ C(E₀)，那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数a和b是规矩数当且仅当(a, b)是H中的一个点。^[4]:522

可以证明，有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$是所有规矩数构成的集合K的子集，而K又是实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$的子集。另外，为了在复数集${\displaystyle \mathbb {C} }$内讨论问题，也会将平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$看作复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$，同时定义一个复数a+bi是（复）规矩数当且仅当点(a, b)是H中的一个点。所有复规矩数构成的集合L也包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$作为子集，并且是复数集${\displaystyle \mathbb {C} }$的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。^[4]:522

域的扩张与最小多项式

主条目：域扩张和最小多项式

以集合的观念来说，L与${\displaystyle \mathbb {Q} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明L是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的扩域，是实数域${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域。记作${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C} }$。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点^[1]。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数z），那么也能做出任意pz+q的点，甚至于任何形如：

${\displaystyle {\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}}$

的点（其中P₁和P₂是两个多项式）。有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为${\displaystyle \mathbb {Q} }$关于z的扩张，记作${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$。然而，${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式P使得P(z)=0，那么${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$中的元素都可以写成λ₁+λ₂z+...+λ_dz^d-1的形式，其中d是P的阶数。这样的情况称为域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限扩张，因为${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$可以看成关于${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得m(z) ${\displaystyle =}$ 0的多项式中阶数最小的，并称m是z最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定1, z, ... , z^d_m-1是${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$的一个基底，${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$是一个d_m维的${\displaystyle \mathbb {Q} }$-线性空间（d_m是m的阶数）^[5]:68。这时候也称d_m是域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)}$的阶数，记作：

${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}}$^[4]:512

规矩扩张的阶数

对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有后三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是L，那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。

直线的方程是：${\displaystyle ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)}$

圆的方程是：${\displaystyle (x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)}$

无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的x和y值都会是形同

${\displaystyle {\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}}$

的数值。所以复规矩数z ${\displaystyle =}$ x+yi满足一个二次方程：

${\displaystyle (z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}}$

其中的p₁+p₂i、q₁+q₂i以及t都是L中的元素^{[4]:523[5]:78-79}。这意味着，域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）^[1]。这又说明，从L开始，经过一系列（n次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了n次域扩张：

${\displaystyle \mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}}$。

而每次域扩张的阶数：[L_k : L_k-1]都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：^{[4]:523-524[1]}

任何复规矩数z对应的域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)}$的阶数${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]}$都是2的某个幂次： ${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}}$

其中的s是某个小于n的自然数（n是已知所有有理数坐标点时，作出z对应的点要经过的基本步骤数目）。

三等分角的反证

上文已经说明，任何可以用尺规作图作出的点，其座标对应一个复规矩数，它的最小多项式次数为${\displaystyle 2^{s}}$。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度是${\displaystyle \theta }$的角，均可以由尺规作图得到 角度为${\displaystyle {\frac {\theta }{3}}}$的角。这等价于说在已知单位长度和${\displaystyle \cos {\theta }}$的时候能做出${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}}$的长度。设L是包含了${\displaystyle \cos {\theta }}$和单位长度1的域。用尺规作图可以得到${\displaystyle z=\cos {\frac {\theta }{3}}}$，说明域扩张的阶数是2的幂次：

${\displaystyle [\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}}$

然而根据三倍角公式：

${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z}$。

运用多项式的知识可以证明，${\displaystyle z}$在L中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3^[4]:512。比如说当角度${\displaystyle \theta =60^{\circ }}$时，L就是${\displaystyle \mathbb {Q} }$（${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q} }$）三倍角公式变成：

${\displaystyle 4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}}$，即是：

${\displaystyle 8z^{3}-6z-1=0}$

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$，所以可以证明${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3}$。^[1]然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，无法用尺规作图将任意角三等分^[4]:525-526。${\displaystyle \Box }$

能够尺规三等分的角度

以上的证明通过一个反例：${\displaystyle \theta =60^{\circ }}$说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的^[1]。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角${\displaystyle \theta }$等价于说${\displaystyle [\mathrm {L} (\cos {\frac {\theta }{3}}):\mathrm {L} ]=1}$^[5]:58。要注意的是，这个条件与${\displaystyle \cos {\theta }}$本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度${\displaystyle \theta }$即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角${\displaystyle \theta }$作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度${\displaystyle 3\pi /7}$就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个${\displaystyle 3\pi /7}$的角，它的五倍角就是${\displaystyle 15\pi /7}$，等于将圆周绕过一圈后的${\displaystyle \pi /7}$，这正是${\displaystyle 3\pi /7}$的三分之一。可以证明，角度${\displaystyle 2\pi /N}$可以用尺规三等分，当且仅当自然数N本身无法被三整除。

从证明中还可看出，只要自然数k只含有2以外的质因子，根据k倍角公式得到的k阶多项式就说明${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{k}}}$的最小多项式阶数整除k，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图k等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（${\displaystyle 2\pi /N}$可以五等分，当且仅当N不是5的倍数；而不管N是多少，${\displaystyle 2\pi /N}$都不能七等分，因为正七边形本身就不能尺规作图了）。

三等分角的方法

用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。

无限次步骤

尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用

${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$

这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为${\displaystyle \theta }$的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角${\displaystyle \theta }$，得到${\displaystyle {\frac {\theta }{4}}}$。同样地，可以作出${\displaystyle {\frac {\theta }{4^{2}}}}$、${\displaystyle {\frac {\theta }{4^{3}}}}$等所有形同${\displaystyle {\frac {\theta }{4^{n}}}}$的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（可数次）操作后用尺规作图得到

${\displaystyle {\frac {\theta }{4}}+{\frac {\theta }{4^{2}}}+{\frac {\theta }{4^{3}}}+\cdots ={\frac {\theta }{3}}}$。^[1]

二刻尺

把角a三等分

如果允许使用有刻度的直尺（二刻尺），则三等分任意角是可行的。右图为把角a三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出^[3]:4。

首先，在直尺上有两个刻度，相距AB。把角上的直线延长，并作一个半径为AB的圆。

把直尺的一点固定在A，并将直尺绕着点A移动，直到其中一个刻度位于点C，另一个刻度位于点D，也就是说，CD ${\displaystyle =}$ AB。这时，角b就是角a的三分之一。

要证明${\displaystyle a=3b}$，我们需要利用直线上的邻角(adjacent angles on straight line)，三角形的内角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

证明：

1. ${\displaystyle e+c=180^{\circ }}$。
2. ${\displaystyle e+2b=180^{\circ }}$。
3. 两式相减，得${\displaystyle c=2b}$。
4. ${\displaystyle d+2c=180^{\circ }}$，因此${\displaystyle d=180^{\circ }-2c}$，把上式代入，得${\displaystyle d=180^{\circ }-4b}$。
5. ${\displaystyle a+d+b=180^{\circ }}$，因此${\displaystyle a+(180^{\circ }-4b)+b=180^{\circ }}$。

所以，${\displaystyle a-3b=0}$，或${\displaystyle a=3b}$。证毕。^[1][3]:4-5

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作证明。

${\displaystyle b+b=c}$

${\displaystyle b+c=a}$

${\displaystyle \Rightarrow {b}+2b=a}$

${\displaystyle \Rightarrow {a}=3b}$

同样也可证明。

借助其他形状或工具

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角AOB，做其角平分线OC。以直线OC为准线，点A为焦点，作一双曲线；同时以O为圆心，OA为半径做圆。设该圆与双曲线在角AOB内侧的交点为D，那么角AOD等于角AOB的三分之一。^[1]此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是：

${\displaystyle \rho =c\theta }$

其中的${\displaystyle \rho }$是极径（离原点的距离），${\displaystyle \theta }$是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度${\displaystyle \rho _{0}}$，然后对比找出${\displaystyle {\frac {\rho _{0}}{3}}}$对应的角度即可。^[3]:8

相关条目

• 莫雷角三分线定理
• 规矩数
• 三等分角线

参考来源

1. 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗？》. 原载于科学月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. （原始内容存档于2014-06-23）. 外部链接存在于|publisher= (帮助)
2. 康明昌. 《古希臘幾何三大問題 》. 原载于数学传播第八卷第二期、第八卷第三期分两期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29]. （原始内容存档于2004-04-06）. 外部链接存在于|publisher= (帮助)
3. Underwood Dudley. The trisectors. Cambridge University Press. 1994. ISBN 9780883855140 （英语）.
4. Warner. Modern algebra. Courier Dover Publications. 1990. ISBN 9780486663418 （英语）.
5. Stewart, Ian. Galois Theory. Chapman and Hall Mathematics. 1989. ISBN 0-412-34550-1 （英语）.

外部链接

• HPM 通讯第6卷第6期，3大作图题（页面存档备份，存于互联网档案馆） 介绍在较宽松的条件下（允许使用有刻度的直尺或配合其他曲线）用尺规作图，来求解三等分角问题。
• 三等分任意角可能吗？（页面存档备份，存于互联网档案馆）