反证法

提示：此条目的主题不是可反证性。

反证法^[1]（英语：proof by contradiction）又称背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理据

给出命题 ${\displaystyle p}$ 和命题 ${\displaystyle {\bar {p}}}$（非 ${\displaystyle p}$），根据排中律，两者之中起码有一个是真（更强的说法为，除了真和假之外并无其他的情况），所以如果其中一个是假的，另一个就必然是真。给出命题 ${\displaystyle q}$ 和命题 ${\displaystyle {\bar {q}}}$（非 ${\displaystyle q}$），根据无矛盾律，两者同时为真的情况为假。给出命题 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 和 ${\displaystyle r}$，根据否定后件律，如果若 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 成立时出现 ${\displaystyle r}$，则 ${\displaystyle r}$ 为假时 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 即为假。反证法在要证明 ${\displaystyle p}$ 时，透过显示出若 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 成立时出现矛盾（${\displaystyle q}$ 和 ${\displaystyle {\bar {q}}}$），即 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 为假，从而证明 ${\displaystyle p}$ 为真。

例子

2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是无理数的证明（古希腊人）

证明：假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理数，那么可以写成 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ 的形式，其中 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 皆为正整数且 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 互质。那么有

• ${\displaystyle p={\sqrt {2}}\times q}$
• ${\displaystyle p^{2}=2\times q^{2}}$

可得 ${\displaystyle p^{2}}$是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 ${\displaystyle p}$ 也是偶数。因此可设 ${\displaystyle p=2s}$，从而 ${\displaystyle p^{2}=4s^{2}}$，代入上式，得：${\displaystyle q^{2}=2s^{2}}$。所以 ${\displaystyle q^{2}}$也是偶数，故可得 ${\displaystyle q}$ 也是偶数。这样 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 都是偶数，不互质，这与假设 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 互质矛盾，假设不成立。因此${\displaystyle {\sqrt {2}}}$为无理数。

其他可用反证法证明的例子

数学上有许多的定理可用反证法来证明，以下是一小部分的例子：

1. 证明有无限多个质数。
2. 任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
3. 现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
4. 集合 ${\displaystyle S=\{x:0<x<1\}}$ 没有最小值。
5. 设 ${\displaystyle n}$ 是大于1的整数，若所有小于或等于${\displaystyle {\sqrt {n}}}$的质数都不能整除 ${\displaystyle n}$，则 ${\displaystyle n}$ 是质数。
6. 已知三角形ABC是锐角三角形，且${\displaystyle \angle A>\angle B>\angle C}$。求证：${\displaystyle \angle B>45^{\circ }}$。
7. 已知 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$ 为正实数，求证：${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$。
8. 已知 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$ 是实数，且${\displaystyle ad-bc=1}$，求证：${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+cd\neq 1}$。
9. 一个群若同时是交换群和单群，则该群是循环群
10. 若一个循环群是单群，则该群的阶为质数
11. 若一个循环群的阶为质数，则该群为单群
12. 鸽笼原理

引文

• 英国数学家高德菲·哈罗德·哈代在他的文章《一个数学家的辩白》描述：“欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵甚至更多，但数学家却是牺牲整个棋局来获得胜利。”

相关条目

• 归谬法
• 排中律
• 直觉主义逻辑：一种不承认排中律的逻辑系统
• 数学构成主义
• 可反证性

参考

1. https://terms.naer.edu.tw/detail/b6c4105c64165755ca6ac0f69d871c71/?seq=1

进一步阅读

• J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6