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在数学中,三十二元数(英语:Trigintaduonion)是指32个维度的代数系统[2]。较常见的定义是透过将十六元数套用凯莱-迪克森构造生成的32维代数系统[3]。这种代数系统不是可除代数,且不具备交换律和结合律。[1]
以凯莱-迪克森构造生成的三十二元数本身包含了十六元数、八元数、四元数、复数和实数,也就是说实数包含于复数、复数包含于四元数、四元数包含于八元数、八元数包含于十六元数、十六元数包含于三十二元数。
其中为三十二元数。后面仍能持续推广为六十四元数、一百二十八元数等。[1]
高维超复数的乘法表可以透过低维超复数的乘法表推广以产生,因此三十二元数的乘法表有一部分与十六元数、八元数的乘法表相同,其余部分能透过推广的方式计算得出,甚至六十四元数、一百二十八元数的乘法表也皆是已知的。[4]这些乘法表中的元素通常是单位,可称为基元,基元的数量则决定了超复数的维度[5]:89
三十二元数的乘法表十分庞大,可以参见文献中的附表[4][1]。具体执行三十二元数乘法的过程需要1024次实数乘法和992次实数加法。[6]
三十二元数之上还有六十四元数、一百二十八元数等,其维数皆是二的次方。[4]
六十四元数共有1个实元素和63个虚元素单位。其乘法表的结构可以以这63个虚元素单位作为点,形成651个三元组。[7]如同八元数的法诺平面7个虚元素单位构成7条线,六十四元数的651个三元组都可以看做一条线,每条线通过3个顶点,每个点连接31条线,并同构于PG(5,2)。[8]:20
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