Engel展开式是一个正整数数列
,使得一个正实数可以以一种唯一的方式表示成埃及分数之和:
![{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+...\;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a36759a740f4e0f16e2ca0c5c97f3205d85acb)
有理数的展开式是有限的,无理数的是无限的。Engel 展开式得名于 F. Engel,他在 1913 年研究了它们。
Engel展开与连分数
Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是连分数的上升变体。
![{\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19455e181385cf2d5b41cfd6c7720dfef8ba3d8)
算法
![{\displaystyle u_{1}=x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9248f5a2b451dde4f69d12ff791ee1440b8166)
![{\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb12c2fe967137dedcd6cfce0a2e0669cbc8e806)
![{\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea693b92a4191fba9bbff3aabc92c9c48bdc088)
表示最小的整数大于或等于
。
若
,则停止。
例子
More information k, uk ...
k
|
uk
|
ak
|
uk+1
|
1
|
3/7
|
3
|
2/7
|
2
|
2/7
|
4
|
1/7
|
3
|
1/7
|
7
|
0
|
Close
参考
- Engel, F. Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191. 1913.
- Kraaikamp, Cor; Wu, Jun. On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients. Monatshefte für Mathematik. 2004, 143: 285–298. doi:10.1007/s00605-004-0246-3.
外部链接