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黎曼ζ函数
解析函數 / 维基百科,自由的 encyclopedia
黎曼泽塔函数 ,写作ζ(s) 的定义如下: 设一复数 s 使得 Re(s) > 1,则定义:
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它亦可以用积分定义:
在区域 {s : Re(s) > 1} 上,此无穷级数收敛并为一全纯函数。欧拉在1740年考虑过 s 为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到 s > 1。[2]波恩哈德·黎曼认识到:ζ函数可以通过解析延拓,把定义域扩展到几乎整个复数域上的全纯函数 ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。
虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应用统计学(参看齐夫定律和齐夫-曼德尔布罗特定律(英语:Zipf–Mandelbrot law))、物理,以及调音的数学理论中。