非凸大斜方截半立方体

此条目页的主题是非凸的星形均匀多面体。关于同名的阿基米德立体，请见“大斜方截半立方体”。

在几何学中，非凸大斜方截半立方体又称拟小斜方截半立方体（Quasirhombicuboctahedron）^[1]是一种星形均匀多面体，由8个正三角形和18个正方形组成^[2]，索引为U₁₇，对偶多面体为大筝形二十四面体^[3]，可以视为是截角立方体的刻面（英语：Faceting）多面体^[4]。非凸大斜方截半立方体的外观与大立方截半立方体类似，只是八角星面被移除，面连接的方式也不相同^[5]:132，但两者都具备八面体群对称性（英语：Octahedral symmetry）^[6]。

非凸大斜方截半立方体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大筝形二十四面体
识别
名称	非凸大斜方截半立方体 great rhombicuboctahedron quasirhombicuboctahedron
参考索引	U17, C59, W85
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	querco
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t0,2{4,3⁄2}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3/2 4 | 2 3 4/3 | 2
性质
面	26
边	48
顶点	24
欧拉特征数	F=26, E=48, V=24 （χ=2）
组成与布局
面的种类	8个正三角形 18个正方形
顶点图	4.4.4.3/2
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
图像
4.4.4.3/2 （顶点图） 大筝形二十四面体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

非凸大斜方截半立方体共由26个面、48条边和24个顶点所组成^[7][8]。在其26个面中，有8个正三角形面和18个正方形面^[6]。在其24个顶点中，每个顶点都是3个正方形和1个三角形的公共顶点，且对应的顶角组成面皆依照正方形、三角形（反向相接，计为3/2或-3）、正方形和正方形的顺序排列，在顶点图中可以用4.3/2.4.4^[4]、(3/2,4,4,4)^[9]、(4,4,3/2,4)^[10]、(-3.4.4.4)^[11]:480来表示。若将非凸大斜方截半立方体作为一个简单多面体，也就是将自相交的部分分离开来，则这个立体会有488个外部面^[4]。

表示法

非凸大斜方截半立方体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[12][13]，在施莱夫利符号中可以表示为t_0,2{4,3⁄2}，在威佐夫记号中可以表示为3/2 4 | 2^{[6][14][7][15]}。

尺寸

若非凸大斜方截半立方体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[16]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {5-2{\sqrt {2}}}}{2}}\approx 0.7368128791}$

边长为单位长的非凸大斜方截半立方体，中分球半径为：^[17][18]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}{2}}\approx 0.5411961001}$

体积${\displaystyle V}$与表面积${\displaystyle A}$为：^[19]

${\displaystyle V={\frac {10{\sqrt {2}}-12}{3}}\approx 0.392837}$

${\displaystyle A=18+2{\sqrt {3}}\approx 21.464102}$

二面角

非凸大斜方截半立方体有两种二面角，分别为正方形面与正方形面的二面角以及正方形面与三角形面的二面角。其中正方形面与正方形面的二面角为45度。而正方形面与三角形面的二面角为三分之根号六的反余弦值，约为35.264度：^[19][17]

${\displaystyle \angle }$正方形${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)\approx 0.61547970867\approx 35.264390^{\circ }}$

凸包

非凸大斜方截半立方体的凸包是一个阿基米德立体——截角立方体。^[18]

凸包	非凸大斜方截半立方体

正交投影

顶点座标

若非凸大斜方截半立方体边长为单位长，且几何中心位于原点，则其顶点座标为下列座标的全排列：^[20]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

分类

由于非凸大斜方截半立方体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此非凸大斜方截半立方体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[21]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[22]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

非凸大斜方截半立方体的顶点布局与其凸包截角立方体相同^[18]，同时其边布局也和大立方截半立方体^[19]、大斜方立方体相同。其顶点图则与伪大斜方截半立方体相同^[23]。

截角立方体

非凸大斜方截半立方体

大立方截半立方体

大斜方立方体

伪大斜方截半立方体

对偶多面体

非凸大斜方截半立方体是大筝形二十四面体

主条目：大筝形二十四面体

非凸大斜方截半立方体是大筝形二十四面体，是一种星形二十四面体，由24个凹筝形组成^[24]。

参见

• 伪大斜方截半立方体

参考文献

1. Eric W. Weisstein. Quasirhombicuboctahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25 [2022-08-20]. （原始内容存档于2021-11-29）.
2. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. [2022-08-20]. （原始内容存档于2021-10-19）.
3. Weisstein, Eric W. (编). Uniform Great Rhombicuboctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. Robert Webb. Great Rhombicuboctahedron. software3d.com. [2022-08-20]. （原始内容存档于2022-08-20）.
5. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
6. Maeder, Roman. 17: great rhombicuboctahedron. MathConsult. [2022-08-20]. （原始内容存档于2022-08-20）.
7. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
8. V.Bulatov. great rhombicuboctahedron. [2022-08-21]. （原始内容存档于2021-02-24）.
9. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-21]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
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11. Aronov, B. and Basu, S. and Pach, J. and Sharir, M. Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift. Algorithms and Combinatorics. Springer Berlin Heidelberg. 2012 [2022-08-20]. ISBN 9783642555664. （原始内容存档于2022-08-20）.
12. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-20]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
13. Richard Klitzing. Octahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
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15. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #22, great rhombicuboctahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-21）.
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17. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Uniform Great Rhombicuboctahedron. [2022-08-20]. （原始内容存档于2022-08-20）.
18. Jürgen Meier. 11.10. Nonconvex great rhombicuboctahedron, Great cubicuboctahedron, Great rhombihexahedron. 3d-meier.de. [2022-08-20]. （原始内容存档于2022-08-20） （德语）.
19. Richard Klitzing. quasirhombicuboctahedron, great rhombicuboctahedron, querco. bendwavy.org. [2022-08-20]. （原始内容存档于2022-10-27）.
20. David I. McCooey. Data of Uniform Great Rhombicuboctahedron. [2022-08-20]. （原始内容存档于2016-04-19）.
21. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-20]. （原始内容存档于2022-08-22）.
22. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
23. Grünbaum, Branko. An enduring error. Elemente der Mathematik. 2009, 64 (3): 89–101. MR 2520469. doi:10.4171/EM/120 .
24. Vladimir Bulatov. great deltoidal icositetrahedron. bulatov.org. [2019-09-07]. （原始内容存档于2017-12-06）.