![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Complex_log.jpg/640px-Complex_log.jpg&w=640&q=50)
复对数
维基百科,自由的 encyclopedia
复对数(英语:Complex logarithm)为自然对数延伸到非零复数的函数,是以下两个定义中的一个,这两个定义彼此也密切相关:
- 非零复数
的复对数,定义为可以使
的任意复数
[1][2]。此复数
可以表示为
[1]。若
以极坐标表示为
,其中
和
是实数,
,则
是
的一个复对数,
的所有复对数会是
,其中的
为整数[1][2]。对数会在复数平面上在一条垂直线上等距排列。
- 复数值函数
,定义在
集合中非零复数中的一个子集合
,满足
,针对
里的所有
。这样的复数函数类似实数的自然对数函数
,后者是实数指数函数的反函数,因此针对所有的正实数x,可以满足eln x = x。复对数函数可以用有关实数值函数显式公式来建立,用
的积分,或是用解析延拓的方式建立。
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Complex_log.jpg/320px-Complex_log.jpg)
没有在整个复数域均有定义的连续复指数函数。处理此问题的方式包括分支(英语:Branch point)、相关的黎曼曲面、以及复数指数函数的部分反函数(partial inverse)。主值(principal value)定义了特定的复指数函数
,除了在负实数轴之外都连续。是不考虑负实数和0的复平面。这是(实数)自然对数的解析延拓。