应力-能量张量,也称应力-能量-动量张量、能量-应力张量、能量-动量张量、简称能动张量,在物理学中是一个张量,描述能量与动量在时空中的密度与通量(flux),其为牛顿物理中应力张量的推广。在广义相对论中,应力-能量张量为重力场的源,一如牛顿重力理论中质量是重力场源一般。应力-能量张量具有重要的应用,尤其是在爱因斯坦场方程。
请注意我们将全程使用到爱因斯坦取和原则。当用到坐标表示,x0代表时间,其他坐标项x1, x2及x3则为剩下的空间分量。
应力-能量张量为一个二阶张量
,给出四维动量或4-动量之a分量通过一坐标为常数xb之表面的通量。
另外要注意的是应力-能量张量是对称(当自旋张量为零时),亦即
![{\displaystyle T^{ab}=T^{ba}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee2af4bd813d4121045bbd583009ccb8bead864)
若自旋张量S非零,则
![{\displaystyle \partial _{\alpha }S^{\mu \nu \alpha }=T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67bf1b62dc9d5998e370e62146373ad419a8b67)
此处举出一些特例:
![{\displaystyle T^{00}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14da610abd2fec0866849b653cc22f773487150d)
代表能量密度。
![{\displaystyle T^{0i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2e1f82998ffd0eb9043695a6fb10cadbd48dcf)
代表能量通过xi表面之通量,等同于
![{\displaystyle T^{i0},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59574fe7b4f3b749886006484098f5a00a960d15)
第i 动量之密度。
分量
![{\displaystyle T^{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b4b8ce4ed17b17367d929290b773eab79b6976)
代表i 动量通过xj表面之通量。其中较特别的是:
![{\displaystyle T^{ii}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e718a5ba1930db7735245d7321f933b9d7f95b2f)
代表一个类似压力与张应力的物理量——正向应力(normal stress),而
![{\displaystyle T^{ij},\quad i\neq j}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0743751f383f785b6cb31155df23eb1c539af1f4)
代表剪应力(shear stress)。
提醒:在固态物理与流体力学中,应力张量所指为应力-能量张量于共动参考系(comoving frame of reference)的空间分量。换句话说,工程学中的应力-能量张量与此处由动量对流项(momentum convective term)表示的应力-能量张量有所差异。
应力-能量张量满足连续性方程(continuity equation)
.
此一物理量
![{\displaystyle \int d^{3}xT^{a0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f588da330e87853cbd843e33c016eae0015a9dfd)
是对一类空切面积分,得出能量-动量矢量。分量
因此可以诠释为(非重力的)能量与动量之局域密度,而连续性方程的第一分量
![{\displaystyle \nabla _{b}T^{0b}=\nabla \cdot \mathbf {p} -{\frac {\partial E}{\partial t}}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d7a349cac06179176ea2f25aad1e6410eef512)
则单纯是能量守恒的表述。空间分量
(i, j = 1, 2, 3)则对应到局域非重力的应力分量,其中包括了压力。此一张量为与时空移动相应的守恒诺特流(Noether current)。
上面所给的关系并不唯一决定此张量。在广义相对论中,对称形式的张量,也就是额外满足
![{\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8198ff9da5f6df6422d61fe86cc18382cf57b14c)
的关系的张量成为时空曲率的源,并且是与规范变换(gauge transformation)相应的流密度(current density),在此是以坐标变换为例。若有扭率(torsion),则此张量就不再是对称的。这对应到非零自旋张量的例子。参见爱因斯坦-嘉当重力。
在广义相对论中,平直时空所用的偏导数(偏微分,partial derivative)修改为协变导数(covariant derivative)。这表示连续性方程中用张量表示的能量和动量不是绝对地守恒。在牛顿重力的经典极限,这一点有一个简单的解释:与引力势能互相交换的能量,它没有包含在能动张量中,而动量是通过场传递到其他物体。然而在广义相对论中,无法定义对应“重力场”能量密度与动量密度的物理量;任何意图要定义这些密度的膺张量(pseudo-tensor)均可以透过一个坐标转换使它们局域地消失为零。一般情况下,对于应力─能量张量只是部分的"协变守恒",我们必须感到心满意足。
在弯曲时空中,一般而言类空积分依赖于类空截面。事实上在一般的弯曲时空中是无法定义一个全局的能量─动量张量(原文误为'vector')。
在狭义相对论中,质量为m的无相互作用粒子的应力-能量张量为:
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{\alpha }[t]v^{\beta }[t]}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d05e5b204dd8363083b9acb2ec5398336823a2)
其中δ是狄拉克δ函数,
是速度矢量:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d6c06266fc1ec793c7ee8e39fe045aed4058e7)
对于处于热平衡状态下的流体,应力-能量张量具有一个特别简单的形式:
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3d9fc32c1318805b29dc01065dd8baaac0fa28)
其中
是质量-能量密度(牛顿每立方米),
是流体静压力(牛顿每平方米),
是流体的四维速度,
是度量张量的逆。
四维速度满足:
![{\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54dfb0dae403cde941b3e2fdf58381c20702f63)
在随流体一起移动的惯性参考系中,四维速度为:
![{\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587820468f4145c453f69bc67e2928668209327d)
度量张量的倒数为:
![{\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7abe6101f9d1c4c8d9db60e4fc62793f065102)
应力-能量张量是一个对角矩阵:
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099003483319a804197ee399a5489f040099715)
一个无源电磁场的应力-能量张量为:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ae57b109d39c2d739a682794a2c5ac31fda070)
其中
是电磁张量。
满足克莱因-戈尔登方程的标量场
的应力-能量张量为:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49580fc6c77713d0b86d808cd009517430ef01c8)
应力-能量张量在广义相对论中仅能以动态度规来定义。其定义成一个泛函导数(functional derivative)
![{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76ac10626b1045e6fb907ad3f59a30284700182)
其中Smatter是作用量的非重力部分,为对称的且有规范不变性。
赝张量的例子有爱因斯坦赝张量与蓝道-里夫须兹赝张量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。