海森堡模型(英语:Heisenberg model)是一个自旋系统的统计力学的模型,常被用来研究磁性系统和强关联电子系统中的相变与临界点的现象(临界现象)。在量子力学发展初期,海森堡首先提出自旋与自旋之间可能存在交互作用,其数学形式是两个自旋角动量的内积
。海森堡模型的哈密顿算符是这些内积的总和。
![{\displaystyle H=\sum _{ij}J_{ij}{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f48517bff190457203ffbacf7dc91fb1493108)
其中自旋角动量的
、
、
三个分量之间的互易关系为
,
为普朗克常数除以
,为了方便以下讨论假设
。如果只考虑最近邻的自旋才存在交互作用,且交互作用的强度
都均等,则哈密顿算符简化为
![{\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328f59b1dff47161f83829d548c3cfca8fb37f8c)
可定义上升算符
和下降算符
,
![{\displaystyle S^{\pm }=S^{x}\pm iS^{y}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6696883f1d63f0071fc47712be49487cc8dcd7d)
则哈密顿算符可写成
![{\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+}\right)+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc466fb1ca6323fa816c8cecf01848aa673e5a1)
相较于易辛模型,海森堡模型除了考虑自旋
轴方向上的耦合以外,还考虑了
和
轴方向上的耦合,由于
,这使研究海森堡模型必须考虑量子力学。