十一边形

在几何学中，十一边形是指有十一条边和十一个顶点的多边形^[1]，其内角和为1620度，且有44条对角线。十一边形有很多种，其中对称性最高的是正十一边形。其他的十一边形依照其类角的性质可以分成凸十一边形和非凸十一边形，其中凸十一边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸十一边形可以在近一步分成凹十一边形和星形十一边形，其中星形十一边形表示边自我相交的十一边形。

正十一边形
一个正十一边形
类型	正多边形
对偶	正十一边形（本身）
边	11
顶点	11
对角线	44
施莱夫利符号	{11}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
对称群	二面体群 (D11), order 2×11
面积	${\displaystyle {\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}}$ ${\displaystyle \approx 9.365639906945a^{2}}$
内角（度）	${\displaystyle {\frac {1620}{11}}^{\circ }=\,}$${\displaystyle 147{\frac {3}{11}}}$ o 147.27272727273°
内角和	1620°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形
查 论 编

命名

十一边形的英文名称是Hendecagon，其hendec-来自于希腊语的hendeka，代表“十一、十一的”字尾再加上-gon表示是一个多边形。而十一边形有时也叫做undecagon^[2][3]，“un-”（undec-的母音音节省略，是一个从拉丁语引进的数学前缀）来表示“一、一的”，而不是 "Hena-"（一个从希腊语引进的数学前缀），后面加上 "deca-" 来表示“十一、十一的”，"undec-"是来自拉丁文的用法^[1]，也是“十一、十一的”意思。另外，十一边形亦可以称为endecagon^[4]。

正十一边形

正十一边形是指所有边等长、所有角等角的十一边形，由十一条相同长度的边和十个相同大小的角构成，是一种正多边形。正十一边形的内角是${\displaystyle {\frac {9\pi }{11}}}$弧度，换算成角度是147.27度^[5]。在施莱夫利符号中用 ${\displaystyle \left\{11\right\}}$ 来表示。

若已知边形边长为${\displaystyle a}$，则其面积为^[3]：

${\displaystyle A={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}}$

由于正十一边形的边数11不是一个费马数，因此正十一边形不是一个可作图多边形，也就是说正十一边形无法利用尺规作图做出^[6]；因为11不是皮尔庞特素数，正十一边形甚至在允许用三等份角的工具时也不能作出；不过若有二刻尺辅助就可以^[7]。虽然纯粹尺规作图无法做出精确的正十一边形，但仍可以做近似的正十一边形。以下给出一个误差为0.0105°的近似作图：

扭歪十一边形

一个正扭歪十一边形，位于十维正十一胞体中

扭歪十一边形，又称不共面十一边形，是指并非所有顶点都共面的十一边形，是有11条边的扭歪多边形。除了三维空间的扭歪十一边形之外，扭歪十一边形亦可以在一些高维度的多胞体中找到，通常会以皮特里多边形的方式存在。例如十维正十一胞体的皮特里多边形就是一个扭歪十一边形，其具有A₁₀ [3⁹] 的考克斯特群的对称性^[8]。

十一边形的对称性

正十一边形的对称性。

正十一边形具有Dih₁₁的对称性，其阶数为22。由于11是一个素数，因此十一边形的对称群只有一个子群：Dih₁和两个循环群，他们分别为： Z₁₁和Z₁。

相关形状

部分形状与十一边形相关，例如十一角星以及11个点的完全图。

十一角星

主条目：十一角星

正十一边形和十一角星共用顶点，换句话说，将正十一边形的十一个顶点以不同的顺序相连就可以构造出十一角星。下面列出部分的十一角星

{11/2}

{11/3}

{11/4}

{11/5}

图

K₁₁完全图经常会被以正十一边形的图形绘制来描述其36条连接边。这个图与十维正十一胞体的正投影图（英语：orthographic projection）同为11个顶点和55条边。

十维正十一胞体

另外K₁₁完全图也显示了十一边形的44条对角线。

参见

• 十一边形数
• 十维正十一胞体：其平行投影可以被绘制为以正十一边形表示的十一个顶点的完全图
  • 四维正十一胞体

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Hendecagon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Haldeman, Cyrus B., Construction of the regular undecagon by a sextic curve, Discussions, American Mathematical Monthly, 1922, 29 (10), JSTOR 2299029.
3. Loomis, Elias, Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Mensuration, Surveying, and Navigation, Harper: 65, 1859.
4. Brewer, Ebenezer Cobham, Errors of speech and of spelling, London: W. Tegg and co.: iv, 1877.
5. McClain, Kay, Glencoe mathematics: applications and connections, Glencoe/McGraw-Hill: 357, 1998, ISBN 9780028330549.
6. Kline, Morris, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times 2, Oxford University Press: 753–754, 1990, ISBN 9780199840427.
7. BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (May 2014): 409-424.; http://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
8. Davis, Michael W., The Geometry and Topology of Coxeter Groups (PDF), 2007 [2016-08-27], ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020, （原始内容 (PDF)存档于2011-10-09）

外部链接

• Properties of an Undecagon (hendecagon) With interactive animation
• 埃里克·韦斯坦因. Hendecagon. MathWorld.