本质上确界和本质下确界的概念与上确界和下确界有关,但前者与测度论的关联性更大,其中通常要涉及不是处处都成立的命题[注 1],而是几乎处处,也就是说,除了在测度为零的集合以外。
设(X, Σ, μ)为测度空间,并设f : X → R为定义在X上的实函数,它并不一定是可测的。实数a称为f的上确界,如果对于X内的所有x,都有f(x) ≤ a,也就是说,集合
![{\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd251c06d46e30f69692970b3eaa52cb46c388da)
是空集。而a称为本质上确界,如果集合
![{\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd251c06d46e30f69692970b3eaa52cb46c388da)
的测度为零,也就是说,对于X内的几乎所有x,都有f(x) ≤ a。
更加正式地,f的本质上确界,ess sup f,定义为:
![{\displaystyle \mathrm {ess} \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9a91226318b4483cd5541937fdafdace0a68af)
如果本质上确界的集合
不是空集,否则ess sup f = +∞。
类似地,我们也可以定义本质下确界:
![{\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f573858b155f25887b20291651d794088b1796c)
如果本质下确界的集合不是空集,否则为−∞。