星形截角立方体

在几何学中，星形截角立方体是一种筝形二十四面体的星形多面体，由互相相交的三角形和八角星组成，其索引为U₁₉，对偶多面体是大三角化八面体^[1]。

星形截角立方体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大三角化八面体
识别
名称	星形截角立方体
参考索引	U19, C66, W92
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	quith
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t{4/3,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 3 | 4/3 2 3/2 | 4/3
性质
面	14
边	36
顶点	24
欧拉特征数	F=14, E=36, V=24 （χ=2）
组成与布局
面的种类	8个三角形{3} 6个八角星{8/3}
面的布局 （英语：Face configuration）	8{3}+6{8/3}
顶点图	3.8/3.8/3
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
特性
非凸、半正、点可递
图像
3.8/3.8/3 （顶点图） 大三角化八面体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

星形截角立方体共有14个面、36条边和24个顶点^[2]，在14个面中，有8个正三角形和6个八角星，且每个顶点都是2个八角星和1个三角形的公共顶点，顶点图可以用⁸/₃.⁸/₃.3表示^[3]。在施莱夫利符号中计为 t{⁴/₃,3}，其代表着经过截角变换的${\displaystyle \left\{{\frac {4}{3}},3\right\}}$图形。考克斯特记号中可以用表示。

结构

星形截角立方体的结构可以视为立方体透过一种名为“星形截角”的多面体变换构造^[4][5]。

将立方体截角变换，截到截面交会后继续截，但将交会的部分切去，并反向延长，然后持续截更深并延长直到延长的面也交会，并继续截更深同时也继续增加延长的面，直到延长的面交错并凸出。

其也可以视为在立方体的正方形面角落摆上直角三角锥，因此每个顶点旁都会被摆上三个直角三角锥^[5]。

二面角

星形截角立方体有两种二面角，包括了八角星-三角形二面角和八角星-八角星二面角。其中八角星-八角星二面角为直角；八角星-三角形二面角为三的平方根倒数之反余弦值^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.9553166\approx 54.7356^{\circ }}$

尺寸

若边长为1，则星形截角立方体的外接球半径为^[6]：

${\displaystyle {\frac {\sqrt {7-4{\sqrt {2}}}}{2}}\approx 0.57947082551833871527}$

体积${\displaystyle V}$与表面积${\displaystyle A}$为：^[7]

${\displaystyle V={\frac {21-14{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.400337}$

${\displaystyle A=-12+12{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}\approx 8.434664}$

顶点座标

若星形截角立方体的边长为1个单位长，则顶点座标为^[8]：

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}})}$

正交投影

星形截角立方体的正交投影

建立于	八角星面	正三角形面	八角星-八角星 交棱
图像

相关多面体

星形截角立方体与另外三种多面体有着相同的顶点布局（英语：vertex arrangement），他们分别为小斜方截半立方体、小立方立方八面体和小斜方立方体。

小斜方截半立方体

小立方立方八面体

小斜方立方体

星形截角立方体

对偶复合体

星形截角立方体与其对偶的复合体为复合星形截角立方体大三角化八面体。其共有38个面、72条边和38个顶点，其尤拉示性数为4，亏格为-1，有6个非凸面^[9]。

参见

• 星形截角
• 立方体

参考文献

1. Eric W. Weisstein. Great Triakis Octahedron, The Dual of the Stellated Truncated Hexahedron.. 密歇根州立大学图书馆. （原始内容存档于2016-03-19）.
2. stellated truncated hexahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2016-03-26）.
3. Uniform Polyhedra 19: stellated truncated hexahedron. mathconsult. （原始内容存档于2016-03-27）.
4. Truncation. [2017-03-24]. （原始内容存档于2019-04-14）.
5. Stellated Truncated Hexahedron. software3d.com. [2017-03-24]. （原始内容存档于2019-10-28）.
6. Self-Intersecting Truncated Regular Polyhedra: Stellated Truncated Hexahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-24）.
7. Klitzing, Richard. quasitruncated hexahedron : quith. bendwavy.org. [2021-09-05].
8. Data of Stellated Truncated Hexahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-09-01）.
9. compound of stellated truncated hexahedron and great triakisoctahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2016-09-06）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 星形截角立方体. MathWorld.
• 星形截角立方体的臉書專頁. Facebook. （原始内容存档于2016-09-02）.