截角四面体

在几何学中，截角四面体是一种半正八面体，13种阿基米德立体之一，共有8个面、18个边和12个顶点，是三角化四面体的对偶多面体，可由四面体经过适当的截角，截去四面体的四个顶点所产生的多面体。

截角四面体

(按这里观看旋转模型)
类别	半正多面体
对偶多面体	三角化四面体
识别
名称	截角四面体
参考索引	U02, C16, W6
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tut
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t{3,3} h2{4,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 3 | 3
康威表示法	tT
性质
面	8
边	18
顶点	12
欧拉特征数	F=8, E=18, V=12 （χ=2）
组成与布局
面的种类	正三角形 正六边形
面的布局 （英语：Face configuration）	4个{3} 4个{6}
顶点图	3.6.6
对称性
对称群	Td群
特性
-
图像
3.6.6 （顶点图） 三角化四面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

若进行更深的截角，甚至截到了中点，则称为截半四面体，然而此种多面体与正八面体是等价的^[1]。

由于截角四面体具有六边形与三角形的面，因此也是一种戈德堡多面体，其戈德堡符号计为G_III(1,1)。

此外，由于截角四面体可以由立方体透过斜截变换构成，即先交错、再截角，因此，截角四面体又称为斜截立方体或截角交错立方体，在考克斯特符号（英语：Coxeter diagram）中计为，顶点数为小斜方截半立方体的一半，因此两个截角四面体可以构成一个凸包为小斜方截半立方体的截角星形八面体，此种立体也称为二复合截角四面体。^[2]

性质

截角四面体是半正多面体之一，由4个等边三角形和4个正六边形组成，有12个顶点和18条棱，可以想象为将正四面体的顶点切去。

座标

在直角坐标系中，将几何中心位于原点边长为${\displaystyle {\sqrt {8}}}$的四面体截角产生了12个顶点，以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) （其中每组坐标的±数目都是奇数个）为顶点，构成了一个截角四面体。12个顶点位置如下：

• (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
• (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
• (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
• (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)

正交投影显示截角四面体可置于一个(±3,±3,±3)的边框内。	截角四面体的六边形面可分割为6共面的正三角形。其产生了四个新顶点 : (-1,-1,-1), (-1,+1,+1), (+1,-1,+1), (+1,+1,-1).	顶点(±1,±1,±3)的全排列产生了两个互补的截角四面体，可将之结合成一个复合多面体，即截角星形八面体。

体积与表面积

边长为${\displaystyle a}$的截角四面体，其表面积为${\displaystyle 7{\sqrt {3}}a^{2}}$，体积为${\displaystyle {\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}}$。^[3]

${\displaystyle A=7{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.12435565a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2.710575995a^{3}.}$

交角

三角形与六边形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {-1}{3}}}$，约为109.47122063449069136924599933996°

六边形与六边形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}}$，约为70.528779365509308630754000660038°

两个六边形的共线与三角形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {-1}{\sqrt {3}}}}$，约为125.26438968275465431537700033002°

作法

将一个正四面体透过截角变换构造，即将正四面体的四个顶点切去就可以得到一个截角四面体。

正交投影

正交投影

中心	标准边	标准面	边	面/顶点
图像
对偶图像
投影 对称群	[1]	[1]	[3]	[4]

球面镶嵌

	以三角形为中心	以六边形为中心
平行投影	施莱格尔投影（英语：Schlegel diagram）

相关多面体及镶嵌

正四面体家族半正多面体

对称性: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面体对偶
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

轨形对称

*n33轨形对称的斜截镶嵌（英语：Template:Cantic_table）: 3.6.n.6

	轨形（英语：Orbifold notation） *n32	球面镶嵌（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）	欧氏镶嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	双曲镶嵌			仿紧
		*332	*333	*433	*533	*633...	*∞33
斜截镶嵌
顶点（英语：Vertex configuration）		3.6.2.6	3.6.3.6	3.6.4.6	3.6.5.6	3.6.6.6	3.6.∞.6

变异对称

*n32变异对称性的截角镶嵌（英语：Template:Truncated figure1 table）: 3.2n.2n

对称性 *n32 [n,3]	球面镶嵌（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）				欧氏镶嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	紧凑双曲		非紧双曲
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
截角镶嵌
顶点（英语：Vertex configuration）	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14（英语：Truncated_heptagonal_tiling）	3.16.16（英语：Truncated octagonal tiling）	3.∞.∞（英语：Truncated order-3 apeirogonal tiling）
三角化 镶嵌
顶点（英语：Vertex configuration）	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14（英语：Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.16.16（英语：Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.∞.∞（英语：Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling）

其他多面体

三角化截角四面体

三角化截角四面体

三角化截角四面体为截角四面体进行三角化变换的结果，即将截角四面体的三角形面加入三角锥。

三角化变换是一种克利多面体变换，意指在多面体表面叠上锥体，关于截角四面体的另外一种克利多面体变换则是在六边形面加入六角锥，所构成的立体为六角化截角四面体。

截角四面体图

截角四面体图
3倍对称
顶点	12[4]
边	18
半径	3
直径	3[4]
围长	3[4]
自同构群	24 (S4)[4]
色数	3[4]
色指数	3[4]
属性	Hamiltonian, regular, 3-vertex-connected, planar graph
查 论 编

在图论的数学领域中，与截角四面体相关的图为截角四面体图，其与截角四面体有相同的拓朴结构，是一种阿基米德图（英语：Archimedean graph）^[5][6]，其顶点与边的数量及结构都与阿基米德立体中的截角四面体相同，具有12个顶点和18个边^[7]。属于连结立体图（英语：connected cubic graph）^[8]，也是一种连结立体可递的图^[9]。

圆	正交投影
	4倍对称	3倍对称

参见

• 四面体

参考文献

1. Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy. Truncated Trickery: Truncatering. theory.org. 1997 [2013-09-02]. （原始内容存档于2014-07-21）.
2. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
3. Weisstein, Eric W. (编), Truncated tetrahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英语）
4. An Atlas of Graphs, page=172, C105
5. Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press, 1998
6. Weisstein, Eric W. (编). Truncated tetrahedral graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. An Atlas of Graphs, page=267, truncated tetrahedral graph
8. An Atlas of Graphs, page=130, connected cubic graphs, 12 vertices, C105
9. An Atlas of Graphs, page=161, connected cubic transitive graphs, 12 vertices, Ct11

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 截角四面体 （参阅阿基米德立体） 于MathWorld（英文）
  • 埃里克·韦斯坦因. Truncated tetrahedral graph. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x3o - tut. bendwavy.org.
• Editable printable net of a truncated tetrahedron with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Encyclopedia of Polyhedra