循环连分数

循环连分数是一种可表示为以下形式的连分数：

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\,}$

前k+1个部分分母不算，后面的部分分母[a_k+1, a_k+2,…a_k+m]会一直重复出现。例如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$即可表示为循环连分数[1,2,2,2,...]。

循环连分数的部分分母{a_i}可以是任何实数或虚数。

1770年，拉格朗日证明一个数字能表示成循环连分数，当且仅当此数为二次无理数^[1]。例如${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$。

在此条目以下的内容会限制在部分分母为正整数的循环连分数。

纯循环连分数以及循环连分数

因为循环连分数的分子都是1，因此可以用以下简化的方式记录循环连分数：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}]\end{aligned}}}$

第二行的括线表示循环的部分^[2]。有些教材书会用以下的写法

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\dot {a}}_{k+1},a_{k+2},\dots ,{\dot {a}}_{k+m}]\end{aligned}}}$

循环部分的第一个数字和最后一个数字上方加上点识别^[3]。

若循环连分数中都是循环部分，没有不循环的第一部分，也就是k = -1, a₀ = a_m，则

${\displaystyle x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}],}$

这样的循环连分数称为纯循环连分数（purely periodic）。例如黄金比例φ的循环连分数是${\displaystyle [1;1,1,1,\dots ]}$，就是纯循环连分数，而${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的循环连分数是${\displaystyle [1;2,2,2,\dots ]}$，是循环连分数，不是纯循环连分数。

和单位模矩阵之间的关系

循环连分数可以和实数的二次无理数一一对应。其对应关系在明可夫斯基问号函数（英语：Minkowski's question-mark function）有提到。先考虑以下的纯循环连分数

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}],}$

此纯循环连分数可以写成

${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

其中${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$是整数，满足${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1.}$。其确切值可以用以下方式求得

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

表示移位，因此

${\displaystyle S^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$

以下这个类似反射

${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

而${\displaystyle T^{2}=I}$。这些矩阵都是单位模矩阵（英语：unimodular matrix），其乘积仍是单位模矩阵。针对上述的${\displaystyle x}$，对应的矩阵如下^[4]

${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}T\cdots TS^{a_{m}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

而

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}]={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

是其显式式。因为所有的矩阵元素都是整数，矩阵也属于模群（英语：modular group） ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} ).}$。

文内注释

1. Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.
2. Pettofrezzo & Byrkit 1970，第158页.
3. Long 1972，第187页.
4. Khinchin 1964.

参考资料

• Long, Calvin T. Elementary Introduction to Number Theory 3 Sub. Waveland Pr Inc. 1972. LCCN 77-171950.
• Pettofrezzo, Anthony Joseph; Byrkit, Donald R. Elements of Number Theory 11. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1970. ISBN 9780132683005. LCCN 77-81766.
• Khinchin, A. Ya. Continued Fractions. University of Chicago Press. 1964 [Originally published in Russian, 1935]. ISBN 0-486-69630-8. 含有内容需登入查看的页面 (link) (This is now available as a reprint from Dover Publications.)