小反屈扭棱二十面截半二十面体

小反屈扭棱二十面截半二十面体（small retrosnub icosicosidodecahedron）又称为小逆反屈扭棱二十面截半二十面体（small inverted retrosnub icosicosidodecahedron）^[1]或Yog Sothoth^[2][3]，是一种星形均匀多面体，由100个正三角形和12个正五角星组成^[4]，索引为U₇₂，对偶多面体为小六角星六十面体（英语：Small hexagrammic hexecontahedron）^[5]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）。^[6][4][7]，且与完全扭棱二十面体拓朴同构^[2]。

小反屈扭棱二十面截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	小六角星六十面体（英语：Small hexagrammic hexecontahedron）
识别
名称	小反屈扭棱二十面截半二十面体 small retrosnub icosicosidodecahedron retrosnub disicosidodecahedron small inverted retrosnub icosicosidodecahedron retroholosnub icosahedron Yog Sothoth
参考索引	U72, C91, W118
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	sirsid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	ß{3⁄2,5}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 3/2 3/2 5/2
性质
面	112
边	180
顶点	60
欧拉特征数	F=112, E=180, V=60 （χ=-8）
组成与布局
面的种类	(40+60)个正三角形 12个正五角星
顶点图	(35.5/3)/2
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
(35.5/3)/2 （顶点图） 小六角星六十面体（英语：Small hexagrammic hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

乔治·奥利舍夫斯基将其赋予了“犹格·索托斯”的呢称。 (来自克苏鲁神话中的神灵名称（英语：Yog-Sothoth）)。^[8][9]

性质

小反屈扭棱二十面截半二十面体共由112个面、180条边和60个顶点组成^[6]，欧拉示性数为-8。^[10]在其112个面中，有100个正三角形面和12个正五角星面^[11]。在其100个正三角形中，有40个是反向相接的正三角形（施莱夫利符号：{3/2}）^[11]，这40个反向相接的正三角形两两一组互相共面^[12]，这些两两一组的三角形每组皆形成了一个正六角星，也就是二复合正三角形^[2]；而另外60个三角形则来自扭棱变换^[12]。若将小反屈扭棱二十面截半二十面体作为一个简单多面体，也就是将自相交的部分分离开来，则这个立体会有3060个外部面^[3]。

顶角的组成

在小反屈扭棱二十面截半二十面体的60个顶点中，每个顶点都是5个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/3,3,3,3,3,3)/2^[13]（若强调小逆反屈扭棱二十面截半二十面体则为 (5/2.3.3.3.3.3)/2^[14]）或[5/3,3⁵]^[2] 来表示，并以“/2”来表示整个顶角的周边面绕了顶点两圈。 另一种表示方式则是将反向相接的正三角形也考虑进来，此时三角形在顶点周围的分布方式则为三角形与反向相接的正三角形交错出现，即面在顶点周围排列的顺序是依照：正三角形、反向相接的正三角形、三角形、反向相接的正三角形、三角形和五角星来排列，这种顶角的结构在顶点图中可以用(3.3/2.3.3/2.3.5/2)^[11][6][3]或[(3/2,3)²,5/2,3]^[15]来表示。

将小反屈扭棱二十面截半二十面体的顶角视觉化的图形

表示法

小反屈扭棱二十面截半二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[16]或^[15]（s3/2s3/2s5/2*a）^[16]，在施莱夫利符号中可以表示为ß{3⁄2,5}，在威佐夫记号中可以表示为| 3/2 3/2 5/2^[11][17][6]。

尺寸

若小反屈扭棱二十面截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[5]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {13+3{\sqrt {5}}-{\sqrt {102+46{\sqrt {5}}}}}}{4}}\approx 0.58069480013}$

边长为单位长的小反屈扭棱二十面截半二十面体，中分球半径为：^[4]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {9+3{\sqrt {5}}-{\sqrt {2\left(51+23{\sqrt {5}}\right)}}}}{4}}\approx 0.29530738375898}$

凸包

小反屈扭棱二十面截半二十面体的凸包是一个非均匀的截角十二面体，其十边形面由等角但不等边的十边形组成。^[18]

截角十二面体 (正多边形面)

凸包 (等角十边形面)

小反屈扭棱二十面截半二十面体

二面角

小反屈扭棱二十面截半二十面体共有两种二面角，分别为三角形面和三角形面的二面角，以及五角星面和三角形面的二面角。^[4]

其中，三角形面和三角形面的二面角角度约为24.33度：

${\displaystyle \angle }$三角形${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {5}}}}{3}}\right)\approx 0.42467279\approx 24.331958571^{\circ }}$

而五角星面和三角形面的二面角角度约为44.4575度：

${\displaystyle \angle }$五角星${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(15-2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {5\left(6{\sqrt {5}}-13\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.775930307\approx 44.457531808^{\circ }}$

顶点座标

小反屈扭棱二十面截半二十面体的顶点座标为下列座标的偶置换：^[4]

${\displaystyle \left(\pm \left(1-\varphi -\alpha \right),0,\pm \left(3-\varphi \alpha \right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \left(\varphi -1-\alpha \right),\pm 2,\pm \left(2\varphi -1-\varphi \alpha \right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \left(\varphi +1-\alpha \right),\pm 2\left(\varphi -1\right),\pm \left(1-\varphi \alpha \right)\right)}$

其中${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$为黄金比例， 且${\displaystyle \alpha ={\sqrt {3\varphi -2}}}$

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）
• 完全扭棱二十面体

参考文献

1. Eric W. Weisstein. Small Inverted Retrosnub Icosicosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-23]. （原始内容存档于2021-12-01）.
2. Richard Klitzing. small (inverted) retrosnub icosicosidodecahedron, retrosnub disicosidodecahedron, yog sothoth, sirsid. bendwavy.org. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-04-08）.
3. Robert Webb. Small Inverted Retrosnub Icosicosidodecahedron ("Yog Sothoth"). software3d.com. [2022-08-23]. （原始内容存档于2021-10-29）.
4. David I. McCooey. Small Retrosnub Icosicosidodecahedron. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-02-14）.
5. Weisstein, Eric W. (编). Small Retrosnub Icosicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. Maeder, Roman. 72: small retrosnub icosicosidodecahedron. MathConsult.
7. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
8. Birrell, Robert J. The Yog-sothoth: analysis and construction of the small inverted retrosnub icosicosidodecahedron (学位论文). California State University. May 1992.
9. Bowers, Jonathan. Uniform Polychora (PDF). Reza Sarhagi (编). Bridges 2000. Bridges Conference: 239–246. 2000 [2023-01-01]. （原始内容存档 (PDF)于2022-10-21）.
10. Zvi Har'El and Roman E Mäder. small retrosnub icosicosidodecahedron. gratrix.net. [2022-08-23]. （原始内容存档于2021-04-01）.
11. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #77, small retrosnub icosicosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-23）.
12. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
13. Jim McNeill. Augmenting the small retrosnub icosidodecahedron. orchidpalms.com. [2022-08-23]. （原始内容存档于2012-06-10）.
14. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
15. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
16. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
17. Eric W. Weisstein. Small Retrosnub Icosicosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-23]. （原始内容存档于2021-12-09）.
18. Robert J Birrell. The Yog-sothoth : analysis and construction of the small inverted retrosnub icosicosidodecahedron (M.Sc.论文). California State University, Northridge. 1992.