大双三角十二面截半二十面体

大双三角十二面截半二十面体是一种星形均匀多面体，由20个正三角形、12个正五边形和12个正十角星组成^[1]，索引为U₄₂，对偶多面体为大双三角十二角星化六十面体（英语：Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）^[2]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）^[3]。

大双三角十二面截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大双三角十二角星化六十面体（英语：Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）
识别
名称	大双三角十二面截半二十面体 great ditrigonal dodecicosidodecahedron great dodekified icosidodecahedron
参考索引	U42, C54, W81
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gidditdid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 5 | 5/3 5/4 3/2 | 5/3
性质
面	44
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=44, E=120, V=60 （χ=-16）
组成与布局
面的种类	20个正三角形 12个正五边形 12个正十角星
顶点图	3.10/3.5.10/3
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
3.10/3.5.10/3 （顶点图） 大双三角十二角星化六十面体（英语：Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

大双三角十二面截半二十面体由44个面、120条边和60个顶点组成^[3]，欧拉示性数为-16^[4]。在其44个面中，有20个正三角形面、12个正五边形面和12个正十角星面^[1][5]。在其60个顶点中，每个顶点都是1个正五边形面、1个正三角形面和2个正十角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五边形、正十角星、正三角形和正十角星的顺序排列，在顶点图中可以用(5.10/3.3.10/3)^[6][7]、3.10/3.5.10/3^[8]、(10/3.5.10/3.3)^[9]、(10/3.3.10/3.5)^[5][3]来表示。

表示法

大双三角十二面截半二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[10]（x5/3x3o5*a）^[11]或（x5/4o3/2x5/3*a）^[11]，在威佐夫记号中可以表示为3 5 | 5/3^[8][12][3]。

尺寸

若大双三角十二面截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[13]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {34-6{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 1.134228596}$

边长为单位长的大双三角十二面截半二十面体，中分球半径为：^[1]

${\displaystyle R_{M}={\frac {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{4}}\approx 1.0180739209}$

二面角

大双三角十二面截半二十面体共有两种二面角，分别为十角星面和五边形面的二面角以及十角星面和三角形面的二面角。^[1][14]

其中，十角星面和五边形面的二面角为负5的平方根的倒数之反余弦值，角度约为116.565度：^[1]

${\displaystyle \angle }$十角星${\displaystyle ,}$五边形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 2.0344439357957\approx 116.565051177^{\circ }}$

而十角星面和三角形面的二面角角度约为142.6226度：^[1]

${\displaystyle \angle }$十角星${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.4892345138\approx 142.622631859^{\circ }}$

分类

由于大双三角十二面截半二十面体的顶点图为梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此大双三角十二面截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[15]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[16]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

大双三角十二面截半二十面体与截角十二面体共用相同的顶点布局，顶点排列方式也与大二十面化截半二十面体和大十二面二十面体相同^[17]，同时其亦与大二十面化截半二十面体和大十二面二十面体共用相同的边布局，特别地，大十二面二十面体则和其有着相同的十角星面。^[18]:156

截角十二面体

大二十面化截半二十面体

大双三角十二面截半二十面体

大十二面二十面体

参见

• 均匀多面体列表（英语：List of uniform polyhedra）

参考文献

1. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Great Ditrigonal Dodecicosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Great Ditrigonal Dodecicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Maeder, Roman. 42: great ditrigonal dodecicosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-01-28）.
4. Zvi Har'El. great ditrigonal dodecicosidodecahedron. gratrix.net. [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-04-01）.
5. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #47, great ditrigonal dodecicosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-22）.
6. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
7. Jim McNeill. Uniform Polyhedra. orchidpalms.com. [2022-08-22]. （原始内容存档于2015-09-24）.
8. Robert Whittaker. The Great Ditrigonal Dodecicosidodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
9. Jim McNeill. Augmenting the great dodekified icosidodecahedron. orchidpalms.com. [2022-08-22]. （原始内容存档于2016-03-06）.
10. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
11. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
12. V.Bulatov. great ditrigonal dodecicosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
13. Eric W. Weisstein. Great Ditrigonal Dodecicosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25 [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-11-30）.
14. Richard Klitzing. great ditrigonary dodekicosidodecahedron, great dodekified icosidodecahedron, gidditdid. bendwavy.org. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-01-24）.
15. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
16. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
17. Robert Webb. Great Rhombidodecahedron. software3d.com. [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-05-11）.
18. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.