大斜方十二面体

大斜方十二面体是一种星形均匀多面体，由30个正方形和12个正十角星组成^[6]，索引为U₇₃，对偶多面体为大菱形十二面六十面体（英语：Great rhombidodecacron），其外观与大十二面截半二十面体类似，差别只在正五角星面和三角形面被替换为正方形面，^[7]:168并且可以视为是大十二面截半二十面体的刻面（英语：Faceting）多面体^[8][9]。

大斜方十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大菱形十二面六十面体（英语：Great rhombidodecacron）
识别
名称	大斜方十二面体 great rhombidodecahedron
参考索引	U73, C89, W109
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gird
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 5/3 (3/2 5/4) | ${\displaystyle \left.2\,{\frac {5}{3}}\,\right|\,\left.{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\\{\frac {5}{4}}\end{matrix}}\right|}$[2] 3/2 5/3 2 |[3][4][5][1]
性质
面	42
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=42, E=120, V=60 （χ=-18）
组成与布局
面的种类	30个正方形（15个{4}和15个{4/3}）[1] 12个正十角星（6个{10/3}和6个{10/7}）[1]
顶点图	4.10/3.4/3.10/7
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
4.10/3.4/3.10/7 （顶点图） 大菱形十二面六十面体（英语：Great rhombidodecacron） （对偶多面体）
查 论 编

外观

大斜方十二面体外观与大十二面截半二十面体类似，其有与大十二面截半二十面体相同的十角星面，只是五角星面和三角形面被替换为正方形面 ^[7]:168。大斜方十二面体的这些正方形面在对应于大十二面截半二十面体中两个浮雕五角星的相交处以及三角形面相交有如玫瑰花结的地方有更深的孔^[7]:168。在大斜方十二面体的中对应于大十二面截半二十面体中两个浮雕五角星的相交处有外观如六面状的凹陷，这个凹陷处的四个侧面为大斜方十二面体的正方形面、底部为两个大斜方十二面体的十角星面的局部，漏出的部分分别为十角星面中36度和72度的变种等腰三角形^[7]:168。

大斜方十二面体

大十二面截半二十面体

性质

大斜方十二面体共由42个面、120条边和60个顶点组成^[3][10]。在其42个面中，有30个正方形面和12个十角星面，在这30个正方形面中，有15个是一般的正方形面（施莱夫利符号：{4}）和15个是反向相接的正方形面（施莱夫利符号：{4/3}）；在12个十角星面中，有6个是一般的十角星面（施莱夫利符号：{10/3}）和6个是反向相接的十角星面（施莱夫利符号：{10/7}）^[1]。在其60个顶点中，每个顶点都是2个十角星和2个正方形的公共顶点，且这些面依照十角星、正方形、反向相接的十角星和反向相接的正方形的顺序排列，在顶点图中可以用(10/3.4.10/7.4/3)来表示^[11][12]。若将大斜方十二面体作为一个简单多面体，也就是将自相交的部分分离开来，则这个立体会有612个外部面^[12]。大斜方十二面体在威佐夫记号中可以表示为${\displaystyle \left.2\,{\frac {5}{3}}\,\right|\,\left.{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\\{\frac {5}{4}}\end{matrix}}\right|}$^[2]、 2 5/3 (3/2 5/4) |、 3/2 5/3 2 |^{[3][4][5][1][13]}。

尺寸

若大斜方十二面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[14][6]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {11-4{\sqrt {5}}}}{2}}\approx 0.71689052337}$

二面角

大斜方十二面体共有两种二面角，皆为正方形和十角星的二面角，但位置不同，一种位于五角星孔洞内，另一种位于三角形孔洞内。^[8]

其中，位于五角星孔洞内的正方形和十角星的二面角角度约为58.28度：^[6]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {10\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)\approx 1.01722196789785\approx 58.282525589^{\circ }}$

位于三角形孔洞内的正方形和十角星的二面角角度约为31.717度：^[6]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {10\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)\approx 0.553574358897\approx 31.717474411^{\circ }}$

顶点座标

若大斜方十二面体边长为单位长，且几何中心位于原点，则其顶点座标为：^[15]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,0,\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)}$

${\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}})}$

相关多面体

大斜方十二面体与截角大十二面体以及6（英语：Compound_of_six_pentagonal_prisms）和12复合五角柱（英语：Compound_of_twelve_pentagonal_prisms）共用相同的顶点布局。同时，其亦与非凸大斜方截半二十面体和大十二面截半二十面体共用相同的边布局。^[8]

非凸大斜方截半二十面体	大十二面截半二十面体	大斜方十二面体
截角大十二面体	六复合五角柱（英语：Compound_of_six_pentagonal_prisms）	十二复合五角柱（英语：Compound_of_twelve_pentagonal_prisms）

图像

传统填充

相交偶数次为外部

参见

• 均匀多面体列表（英语：List of uniform polyhedra）

参考文献

1. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #78, great rhombidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-23）.
2. Eric W. Weisstein. Great Rhombidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25 [2022-08-21]. （原始内容存档于2021-12-05）.
3. Maeder, Roman. 73: great rhombidodecahedron. MathConsult. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-08-21）.
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
5. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-21]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
6. David I. McCooey. Versi-Quasi-Regular Polyhedra: Great Rhombidodecahedron. [2022-08-21]. （原始内容存档于2021-09-11）.
7. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
8. Richard Klitzing. great rhombidodecahedron, gird. bendwavy.org. [2022-08-21]. （原始内容存档于2021-11-29）.
9. Richard Klitzing. Ridge-Facetings. bendwavy.org. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-08-21）.
10. V.Bulatov. great rhombidodecahedron. [2022-08-21]. （原始内容存档于2021-02-28）.
11. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-21]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
12. Robert Webb. Great Rhombidodecahedron. software3d.com. [2022-08-21]. （原始内容存档于2021-05-11）.
13. George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. [2022-08-21]. （原始内容存档于2018-09-19）.
14. Weisstein, Eric W. (编). Great Rhombidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
15. David I. McCooey. Data of Great Rhombidodecahedron. [2022-08-21]. （原始内容存档于2017-04-20）.