大反屈扭棱截半二十面体

大反屈扭棱截半二十面体（great retrosnub icosidodecahedron）又称大逆反屈扭棱截半二十面体（great inverted retrosnub icosidodecahedron）是一种星形均匀多面体，由80个正三角形和12个正五角星组成^[1]，索引为U₇₄，对偶多面体为大五角星六十面体（英语：Great pentagrammic hexecontahedron）^[2]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）。^[3][1][4]，并且与扭棱十二面体、扭棱大星形十二面体和反扭棱大星形十二面体拓朴同构^[5]。

大反屈扭棱截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大五角星六十面体（英语：Great pentagrammic hexecontahedron）
识别
名称	大反屈扭棱截半二十面体 great retrosnub icosidodecahedron great inverted retrosnub icosidodecahedron
参考索引	U74, C90, W117
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	girsid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 2 3/2 5/3 | 3/2 5/3 2
康威表示法	sr{3⁄2,5⁄3}
性质
面	92
边	150
顶点	60
欧拉特征数	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类	(20+60)个正三角形 12个正五角星
顶点图	(34.5/2)/2
对称性
对称群	Ih, [5,3]+, 532
图像
(34.5/2)/2 （顶点图） 大五角星六十面体（英语：Great pentagrammic hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

大反屈扭棱截半二十面体共由92个面、150条边和60个顶点组成^[3]，在其92个面中，有80个正三角形面和12个正五角星面^[1]，在其80个正三角形面中又可以分为60个一般的正三角形面（施莱夫利符号：{3}）和20个反向相接的正三角形面（施莱夫利符号：{3/2}）^[6]，当中的60个正三角形面是在扭棱的过程产生的^[7]。

顶角的组成

在大反屈扭棱截半二十面体的60个顶点中，每个顶点都是4个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/2.3.3.3.3)/2^[8][9]来表示，并以“/2”来表示整个顶角的周边面绕了顶点两圈。 另一种表示方式则是将反向相接的正三角形也考虑进来，此时三角形在顶点周围的分布方式则为正三角形与反向相接的正三角形交错出现，即面在顶点周围排列的顺序是依照：正三角形、反向相接的正三角形、正三角形、正五角星和正三角形来排列，这种顶角的结构在顶点图中可以用(3.3/2.3.5/3.3)^[6][3]来表示。

将大反屈扭棱截半二十面体的顶角视觉化的图形

表示法

大反屈扭棱截半二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[10][11]，在施莱夫利符号中可以表示为sr{3⁄2,5⁄3}，在威佐夫记号中可以表示为| 2 3/2 5/3^[12]:189或| 3/2 5/3 2^[13][14][6]

尺寸

若大反屈扭棱截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[2][1]

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.580002\dots }$

其中${\displaystyle x}$是${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}$的实根。 以${\displaystyle R^{2}}$为变量的六次方程

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

共有4个实根，分别是扭棱十二面体、扭棱大星形十二面体、反扭棱大星形十二面体和大反屈扭棱截半二十面体的外接球半径。

边长为单位长的二十面化截半大十二面体，中分球半径为方程式

${\displaystyle 4096x^{6}-21504x^{5}+16384x^{4}-4672x^{3}+624x^{2}-40x+1=0}$

的较小正实跟（约为0.086401745）的平方根，约为0.293941738。^[1]

二面角

大反屈扭棱截半二十面体有两种二面角，分别为三角形面和三角形面的二面角、以及五角星面和三角形面的二面角。

其中三角形面和三角形面的二面角约21.724655212度，实际上是为方程式

${\displaystyle 729x^{6}-486x^{5}-729x^{4}+756x^{3}+63x^{2}-270x+1=0}$

的较小非零正实根（约为0.928973378）的反余弦值。

而五角星面和三角形面的二面角约67.31029488度，实际上是为方程式

${\displaystyle 91125x^{6}-668250x^{5}+2006775x^{4}-2735100x^{3}+1768275x^{2}-502410x+43681=0}$

的较小正实根（约为0.14879556）之平方根的反余弦值。

${\displaystyle \arccos \left({\sqrt {\operatorname {root} \left(91125x^{6}-668250x^{5}+2006775x^{4}-2735100x^{3}+1768275x^{2}-502410x+43681\right)}}\right)}$${\displaystyle \approx 1.174786266\approx 67.310294880^{\circ }}$^[1]

顶点座标

大反屈扭棱截半二十面体的顶点座标为下列座标的偶置换：^[1]

${\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)}$和

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)}$，

带有偶数个正号，其中

${\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}}$

且

${\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}}$

其中${\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$为黄金比例、 ${\displaystyle \xi }$是方程式${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}}$的较小正实根，其值为：

${\displaystyle \xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\approx 0.3264046}$

若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话，则会得到大反屈扭棱截半二十面体的另一种形式，即另一种形式的手性对映体，将两种手性对映体组合起来可以得到一种均匀复合体——二复合大反屈扭棱截半二十面体（英语：Compound of two great retrosnub icosidodecahedra）。^[15]

相关多面体

两个大反屈扭棱截半二十面体的手性镜像可以复合成均匀复合体^[16]，称为二复合大反屈扭棱截半二十面体（英语：Compound of two great retrosnub icosidodecahedra）^[15]。

二复合大反屈扭棱截半二十面体（英语：Compound of two great retrosnub icosidodecahedra）

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）
• 扭棱大星形十二面体
• 反扭棱大星形十二面体

参考文献

1. David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Great Retrosnub Icosidodecahedron. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-02-14）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Great Retrosnub Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Maeder, Roman. 74: great retrosnub icosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
5. Richard Klitzing. great (inverted) retrosnub icosidodecahedron, azathoth, ided. bendwavy.org. [2022-08-23]. （原始内容存档于2021-09-24）.
6. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #79, great retrosnub icosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2021-10-31）.
7. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
8. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
9. Jim McNeill. Augmenting the great retrosnub icosidodecahedron. orchidpalms.com. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
10. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
11. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
12. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
13. V.Bulatov. great retrosnub icosidodecahedron. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
14. Adrian Rossiter. great retrosnub icosidodecahedron. antiprism.com. [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-08-23）.
15. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 (3): 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440
16. George W. Hart. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra. 1996 [2022-08-23]. （原始内容存档于2022-01-11）.