大二重斜方截半二十面体

大二重斜方截半二十面体又称为米勒的怪物（Miller's Monster）^[1]:259[2]是一种非凸均匀多面体^[3]，由124个面、240条边和60个顶点组成。这个立体中存在半球面，也就是通过几何中心的面^[4]，因此其对偶多面体是一种无穷星形多面体。

大二重斜方截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大二重斜方截半二十面无穷星形六十面体（英语：Great dirhombicosidodecacron）
识别
名称	大二重斜方截半二十面体 Great dirhombicosidodecahedron Miller's Monster
参考索引	U75, C92, W119
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gidrid
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 3/2 5/3 3 5/2
性质
面	124
边	240
顶点	60
欧拉特征数	F=124, E=240, V=60 （χ=-56）
组成与布局
面的种类	40个正三角形 60个正方形 24个五角星
顶点图	4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2
对称性
对称群	Ih（英语：Icosahedral symmetry）, [5,3], (*532)
图像
4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2 （顶点图） 大二重斜方截半二十面无穷星形六十面体（英语：Great dirhombicosidodecacron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

大二重斜方截半二十面体是唯一一种顶角超过六个面构成的非退化均匀多面体^[5]，其每个顶角都是八面角。^[6]更精确地说，这个立体每个顶点都是4个正方形、2个三角形和2个五角星的公共顶点。其对应的八面角中，4个正方形面穿过了八面角的中央轴线，交错地与另外2个三角形和2个五角星相邻。^[7]:200这样的配置在顶点图中可以用4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2表示。特别地，这个立体的威佐夫记号计为 | 3/2 5/3 3 5/2 ^[8]，当中包含了4个分数，这个性质有别于其他均匀多面体：其他均匀多面体的威佐夫记号基本上可以用三个有理数表达，分别代表球面上史瓦兹三角形的三条边，然而这个立体需要4个，这意味着这个立体无法用从球面三角形以威佐夫结构的模式来定义。其他具备此特性的均匀多面体都是退化的形式，例如大二重扭棱二重斜方十二面体。^[9]

面的组成

大二重斜方截半二十面体共由40个三角形、60个正方形和24个五角星组成，在其124个面中，有24个面是非凸且自相交的，即24个五角星面^[10]，和60个穿过整体几何中心的正方形面。若将其视为简单多面体，也就是移除自相交的部分以便建构其模型，则大二重斜方截半二十面体有1280个外部面。^[2]

二面角

大二重斜方截半二十面体有两种二面角，分别是正方形与三角形的交角，约54.7度以及五角星和正方形的交角，约71度。 ^[11]

其中，正方形与三角形的交角为三平方根倒数的反余弦值：^[11]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {3}}{3}}\approx 0.9553166\approx 54.7356103^{\circ }}$

而五角星和正方形的交角为：^[11]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{5}}\approx 1.2398695\approx 71.0392901^{\circ }}$

顶点座标

若一大二重斜方截半二十面体的边长为单位长，则这个大二重斜方截半二十面体的顶点座标为：^[12]

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1-2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2+{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right),}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}{2}},\,\pm {\frac {\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{2}}\right),}$

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1+2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right).}$

若大二重斜方截半二十面体的边长为2√2单位长，则其顶点座标简化为以下列数值的全排列来表示：

${\displaystyle \left(0,\pm {\frac {2}{\tau }},\pm {\frac {2}{\sqrt {\tau }}}\right),}$

${\displaystyle \left(\pm \left(-1+{\frac {1}{\sqrt {\tau ^{3}}}}\right),\pm \left({\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\right),\pm \left({\frac {1}{\tau }}+{\sqrt {\tau }}\right)\right),}$

${\displaystyle \left(\pm \left({\frac {-1}{\tau }}+{\sqrt {\tau }}\right),\pm \left(-1-{\frac {1}{\sqrt {\tau ^{3}}}}\right),\pm \left({\frac {1}{\tau ^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\right)\right),}$

其中τ = (1+√5)/2 是黄金比例。

使用

外部图片链接
《數學期刊》第4期第3卷的封面。可見右側的大二重斜方截半二十面體。. [2021-10-30]. （原始内容存档于2022-01-27）.

大二重斜方截半二十面体曾作为《数学期刊》（The Mathematica Journal（维基数据所列：Q27726833））第4期第3卷的封面图像。^[5]

参考文献

1. Azulay, J. and Rice, B. and Aiello, C. Architecture Xenoculture. eVolo. eVolo Press. 2014 [2021-10-28]. ISBN 9781938740121. （原始内容存档于2021-10-29）.
2. Robert Webb. Great Dirhombicosidodecahedron ("Miller's Monster"). software3d.com. [2021-10-25]. （原始内容存档于2022-03-05）.
3. David A. Richter. Great Dirhombicosidodecahedron. Western Michigan University. [2021-10-28]. （原始内容存档于2018-10-18）.
4. Maeder, Roman. 75: great dirhombicosidodecahedron. MathConsult. （原始内容存档于2021-10-28）.
5. Weisstein, Eric W. (编). Great Dirhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs. Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4).
7. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
8. Zvi Har'el. Uniform solution for uniform polyhedra. Geometriae Dedicata. 1993-07, 47 (1): 57–110 [2021-10-28]. ISSN 0046-5755. doi:10.1007/BF01263494 （英语）.
9. Skilling, John, The complete set of uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society A（英语：Philosophical Transactions of the Royal Society A）, 1975, 278 (1278): 111–135, doi:10.1098/rsta.1975.0022
10. 1996 V.Bulatov. great dirhombicosidodecahedron. bulatov.org. 1996 [2021-10-28]. （原始内容存档于2022-03-14）.
11. David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Great Dirhombicosidodecahedron. dmccooey.com. 2015 [2021-07-30]. （原始内容存档于2022-02-14）.
12. Data of Great Dirhombicosidodecahedron. dmccooey.com. [2021-10-28]. （原始内容存档于2016-05-30）.