大二十面半十二面体

大二十面半十二面体是一种拟正半多面体^[1]，由20个三角形面和6个穿过整体几何中心的十角星面组成，^[2]可以视为大截半二十面体经过刻面（英语：Faceting）后的结果^[3]，最早在1881年由亚伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）发现并描述^[4]。

提示：此条目页的主题不是大十二面半十二面体或大十二面半二十面体。

大二十面半十二面体

类别	均匀星形多面体 半多面体
对偶多面体	大二十面半无穷星形十二面体（英语：Great icosihemidodecacron）
识别
名称	大二十面半十二面体 Great icosihemidodecahedron
参考索引	U71, C85, W106
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	geihid
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3/2 3 | 5/3
性质
面	26
边	60
顶点	30
欧拉特征数	F=26, E=60, V=30 （χ=-4）
组成与布局
面的种类	20个正三角形 6个正十角星
顶点图	3.10/3.3/2.10/3
对称性
对称群	Ih（英语：Icosahedral symmetry）, [5,3], (*532)
图像
3.10/3.3/2.10/3 （顶点图） 大二十面半无穷星形十二面体（英语：Great icosihemidodecacron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

大二十面半十二面体共有26个面、60条边和30个顶点。在其26个面中有20个正三角形面和6个穿过整体几何中心的正十角星面^[2]，也就是说组成大二十面半十二面体的面皆为正多边形，虽然顶点图不是正多边形，但每个顶点对应多面角皆全等。共有9个星形多面体具备此种性质。^[5]此外，大二十面半十二面体的凸包为截半十二面体^[6]。

相关多面体

大二十面半十二面体可透过将十角星面拓朴形变成十边形面来转变为小二十面半十二面体，因此大二十面半十二面体与小二十面半十二面体拓朴同构，可以视为同一种抽象多面体的具象化。^[3][7]

• 
  大二十面半十二面体
• 
  小二十面半十二面体

大二十面半十二面体与大十二面半十二面体及大截半二十面体共用相同的顶点排列方式^[8]。其中，大二十面半十二面体与大十二面半十二面体皆具有6个通过整体几何中心的十角星面。若不通过几何中心的面是三角形，则这个多面体是大二十面半十二面体^[9]；若不通过几何中心的面是五角星，则这个多面体是大十二面半十二面体^[9]。特别地，大二十面半十二面体可以视为是截半的皮特里大星形十二面体（大星形十二面体的皮特里对偶）、大十二面半十二面体可以视为是截半的皮特里大二十面体（大二十面体的皮特里对偶）^[2]

• 
  大截半二十面体
• 
  大十二面半十二面体
• 
  大二十面半十二面体
• 
  截半二十面体（凸包）^[6]

皮特里大星形十二面体

皮特里大星形十二面体

以不同颜色表示每个面
类别	皮特里对偶 正则地区图
数学表示法
施莱夫利符号	{5/2,3}π
性质
面	6
边	30
顶点	20
欧拉特征数	F=6, E=30, V=20 （χ=-4）
二面角	（不存在）
对称性
对称群	Ih, H3, [5,3], *532
特性
扭歪、正则
查 论 编

皮特里大星形十二面体是大星形十二面体的皮特里对偶，可以透过将原有大星形十二面体上取皮特里多边形构成，换句话说，皮特里大星形十二面体为由大星形十二面体的皮特里多边形构成的立体^[10][11]。由于大星形十二面体的皮特里多边形为扭歪十角星，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。

• 
  大星形十二面体
• 
  构成皮特里大星形十二面体的扭歪十角星

大星形十二面体对应的正则地区图与正十二面体同构^[12][13]，因此其对应的皮特里对偶在拓朴学上也与皮特里十二面体同构，且对应的骨架图皆为十二面体图^[14]。 皮特里大星形十二面体、大星形十二面体、大二十面体、皮特里大二十面体的关系如下：^[15]

${\displaystyle \left\{6,\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 皮特里大十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{5,\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 大十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}}$	${\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},\,5\right\}}$ 小星形十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{6,\,5\right\}}$ 皮特里小星形十二面体
				↕${\displaystyle \varphi _{2}}$
${\displaystyle \left\{{\frac {10}{3}},\,3\right\}}$ 皮特里大星形十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},\,3\right\}}$ 大星形十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}}$	${\displaystyle \left\{3,\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 大二十面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{{\frac {10}{3}},\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 皮特里大二十面体

其中，“${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$”表示互为皮特里对偶；“${\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}}$”表示互为对偶多面体；“${\displaystyle {\ce {<->[\varphi]}}}$”表示互为刻面变换结果。

大二十面半十二面体可以视为是连接皮特里大星形十二面体每个边的中点构成的立体。^[2]

参见

• 半多面体

参考文献

1. David I. McCooey. Versi-Regular Polyhedra. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-07-30）.
2. Weiss, Asia Ivić and Schulte, Egon. Hereditary polyhedra with planar regular faces. The Art of Discrete and Applied Mathematics. 2020, 3 (2): 2–07.
3. Klitzing, Richard. great icosihemidodecahedron : geihid. bendwavy.org. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-01-23）.
4. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.
5. Matteo, Nicholas. Two-orbit convex polytopes and tilings. Discrete & Computational Geometry (Springer). 2016, 55 (2): 296–313.
6. 11.12. Great Dodecahemidodecahedron, Great Icosidodecahedron, Great Icosihemidodecahedron. 3d-meier.de. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-09-06）.
7. Klitzing, Richard. small icosihemidodecahedron : seihid. bendwavy.org. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-09-05）.
8. Gévay, Gábor,. Constructions for large spatial point-line (nk) congurations. ARS Mathematica Contemporanea. 2013, 7 (1): 175–199.
9. Uniform polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1954-05-13, 246 (916): 401–450 [2021-09-06]. ISSN 0080-4614. doi:10.1098/rsta.1954.0003. （原始内容存档于2020-09-18） （英语）.
10. Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
11. McMullen, Peter. Rigidity of Regular Polytopes. Rigidity and Symmetry (Springer). 2014: 253––278.
12. Stellation of Regular Maps. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-08-23）.
13. The dodecahedron. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-01）.
14. C6:{10,3}₅. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].
15. McMullen, P., Schulte, E. Regular Polytopes in Ordinary Space. Discrete & Computational Geometry. 1997/06/01, 17 (4): pp.449-478 [2021-09-06]. ISSN 1432-0444. doi:10.1007/PL00009304. （原始内容存档于2018-06-03）. 请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)