多项式(英语:Polynomial)是代数学中的基础概念,是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。多项式是整式的一种。未知数只有一个的多项式称为一元多项式;例如
就是一个三项一元二次多项式。未知数不止一个的多项式称为多元多项式,例如
就是一个三项三元三次多项式,一个多项式有几次取决于最高的那个项的次数。(xy属于二次)
三次多项式(
)在坐标平面上的图形
可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式。如果一项中不含未知数,则称之为常数项。
多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。
给定一个环
(
通常是交换环,可以是有理数、实数或者复数等等)以及一个未知数
,则任何形同:
![{\displaystyle a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+a_{n}X^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7513a1e5d3454bc528982aa08463bb82a871de7c)
的代数表达式叫做
上的一元多项式。其中
是
中的元素。未知数不代表任何值,但环
上的所有运算都对它适用。在不至于混淆的情形下,一般将一元多项式简称为多项式。可以证明,两个多项式的和、差与积仍然是多项式,即多项式组成一个环
,称为
上的(一元)多项式环。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式,即形同
![{\displaystyle p_{0}(X_{1})+p_{1}(X_{1})X_{2}+\cdots +p_{n_{2}-1}(X_{1})X_{2}^{n_{2}-1}+p_{n_{2}}(X_{1})X_{2}^{n_{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b31da981184990c269d048698249c2fecf8131)
的代数表达式。其中
都是
中的元素。全体这样的表达式也构成一个环,记为
。以此类推,可以定义所有
元多项式集合:
多项式总可以表示为有限个元素的和,其中每个元素都是未知数与
中一个常数的乘积,这样的元素称为多项式的项,其中的常数称为该项的系数。在
中,多项式的每一项都是形同
的乘积形式。其中
是系数,
被称为
在这一项中的次数。所有
之和称为这一项的次数。比如在以下这一项:
![{\displaystyle -5X^{3}Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dce25eec7d354793d9d706ff0eb8f9a2807d16f)
中,系数是
,不定元
的次数是
,
的次数是
,这一项的次数是
。可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式。如果一项中不含未知数,则称之为常数项。
选定一个未知数后,多项式可依各项中该未知数的次数以降序或升序排列。次数从低到高是升幂排列。次数从高到低是降幂排列。例如
![{\displaystyle \ 2X^{5}Y^{2}+7X^{3}Y^{4}+8X^{1}Y^{6}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c5dca49bf666e43f0af108a7f2eb93253b9ee4)
是依X的次数降幂排列。
两个多项式相加可以看作是对两组单项式的和进行重组与合并同类项。通过加法结合律,可以将同类项放在一起,合并之后就得到了两个多项式的和[1][2]。例如以下的两个多项式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\color {BrickRed}P}&={\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2}\\{\color {RoyalBlue}Q}&={\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d918d047f1348bd79c9786768fe96e70a2659bd)
它们的和是:
![{\displaystyle {\color {BrickRed}P}+{\color {RoyalBlue}Q}=({\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2})\;+\;({\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39be6c5ff3bbc9a4062222d1a95781aba0dc4824)
化简之后得到:
![{\displaystyle P+Q=X+5XY+4Y^{2}+6}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cc1cde4eebedde7179d59be275759409f4838b)
例:
、
则
例如以下的两个多项式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\color {BrickRed}P&=\color {BrickRed}{2X+3Y+5}\\\color {RoyalBlue}Q&=\color {RoyalBlue}{2X+5Y+XY+1}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a900fc1724c963358bbb430bdbce26cb2be8dc)
计算它们的乘积,步骤如下:
![{\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q}&{=}&&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43189510567fec0925b61c5688e5a2882b309504)
化简之后得到:
![{\displaystyle PQ=4X^{2}+21XY+2X^{2}Y+12X+15Y^{2}+3XY^{2}+28Y+5}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c5fa41db4816692bfd85f5dc3220d737272a13)
和整数之间的带余除法类似。可以证明,设有多项式
和非零多项式
,则存在唯一的多项式
和
,满足:
![{\displaystyle A=BQ+R}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b37f420a7b68179904a3efce197e58cfb6465cd)
其中多项式
若非零多项式,则其次数严格小于
的次数。
作为特例,如果要计算某个多项式
除以一次多项式
得到的余多项式,可以直接将
代入到多项式
中。
除以
的余多项式是
。
具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如,计算
除以
,列式如下:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \;X^{2}-\;\;\;\!\!9X\;\,-\;27\\\qquad \quad X-3\;{\overline {)\quad X^{3}-12X^{2}+\;\;0X\;\;\!\!-42}}\\\;\;{\underline {\quad \,X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \;\,-\;\,\,\,9X^{2}+\;\;0X\\\qquad \qquad \qquad {\underline {\;\;\!-\;\,\,\,9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,-\;27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,{\underline {-\;27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,\,-123\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10e13e59b1aa323753f0f741769713972205f4d)
因此,商式是
,余式是
。
令
则
,应用多项式乘法的矩阵算法,越右侧代表越高次项。
首先,从高次方作f(x)除以g(x),求
再求
[3]
MATLAB程式实作
f = [1 -1 -2 1 3 -1];
g = [3 -1 1 -1];
zero_pad = zeros(1, length(f) - length(g));
g = toeplitz([3 zero_pad], [3 -1 1 -1 zero_pad]);
[row_len, col_len] = size(g);
q = f(end - row_len + 1 : end) / g(:, end - row_len + 1 : end)
r = f(1 : end - row_len) - q * g(:, 1 : end - row_len)
是两个不同的项
若存在i使得
,但
,则
在
前
例如
,这种排列法称为字典排列法。[4]
多项式可以推广到系数在任意一个环的情形,请参阅条目多项式环。