外代数(英语:Exterior algebra)也称为格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼。
实外代数中,
n 阶元素的几何诠释:
n = 0(具有正负号的点),1(具有指向的线段,即
向量),2(具有定向的平面元),3(具有定向的体积)。
n个向量的外积可以图像化为
n维几何物体(例如
n维
平行六面体,
n维
椭球);其大小为
超体积(hypervolume),其
定向的定义由
(n − 1)维边界以及物体内部在哪一侧来决定。
[1][2]
数学上,向量空间
的外代数是一个特定有单位的结合代数,其包含了
为其中一个子空间。它记为
或
. 而它的乘法,称为楔积或外积,记为
. 楔积是结合的和双线性的;其基本性质是它在
上是交错的,也就是:
,对于所有向量![{\displaystyle v\in V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99886ebbde63daa0224fb9bf56fa11b3c8a6f4fb)
这表示
,对于所有向量
,以及
,当
线性相关时。
值得注意的是,以上三性质只对
中向量成立,不是对代数
中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。
的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示,请参看下文。
形式为
的元素,其中
在
中,称为
-向量。所有
-向量生成的
的子空间称为
的
-阶外幂,记为
。外代数可以写作每个
阶幂的直和:
![{\displaystyle \Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3394be5d779ae030e907bb992e430fa6ce765a)
该外积有一个重要性质,就是
-向量和
-向量的积是一个
-向量。这样外代数成为一个分次代数,其中分级由
给出。这些
-向量有几何上的解释:2-向量
代表以
和
为边的带方向的平行四边形,而3-向量
代表带方向的平行六面体,其边为
,
, 和
。
外幂的主要应用在于微分几何,其中他们用来定义微分形式。因而,微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。