数学上,分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法,可以藉代数来将方程式重新编排,让方程式的一部分只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和等于零。
常微分方程
假若,一个常微分方程可以写为
。
设定变量
。那么,
.(1)
只要是
,就可以将方程式两边都除以
,再都乘以
:
。
这样,可以将两个变量
,
分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数
。因此,可以得到两个较易解的常微分方程;
。
第二种方法
有些不喜欢用莱布尼茨标记的数学家,或许会选择将公式 (1) 写为
。
这写法有一个问题:无法比较明显的解释,为什么这方法叫作分离变量法?
随着
积分公式的两边,可以得到
。(2)
应用变量积分法,
。
假如,可以求算这两个积分,则这常微分方程有解。这方法允许将导数
当做可分的分式看待,可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释,
实例 (I)
常微分方程式
可以写为
;(3)
其中,
。
设定
,
。套用公式 (1) ,这常微分方程式是可分的。
进一步编排,则
。
变量
,
分别在公式的两边。将两边积分,
。
积分的结果是
;
其中,
是个积分常数。稍加运算,则可得
。
在这里,检查此解答的正确与否。计算导数
。答案应该与原本的问题相同。(必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值,分别地造成了
的正值与负值。而当
时,
)。
特别注意,由于将公式 (3) 的两边除以
跟
,必须检查两个函数
与
是否也是常微分方程式的解答(在这个例子里,它们都是解答)。参阅奇异解 。
实例 (II)
人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达
;
其中,
是人口数值函数,
是时间参数,
是成长的速率,
环境的容纳能力。
将方程式的两边都除以
.再随着时间
积分,
。
应用变量积分法,
。
稍微运算,则可得
;
其中,
是常数。
偏微分方程
给予一个
元函数
的偏微分方程,有时候,为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程,可以猜想一个解答;解答的形式为
,
或者
。
时常,对于每一个自变量
,都会伴随着一个分离常数。如果,这个方法成功,则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。
实例 (III)
假若,函数
的偏微分方程为
。
猜想解答为
。
那么,
。
因为
只含有
、
只含有
、
只含有
,这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说,将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程:
、
、
;
其中,
都是常数,
。
偏微分方程的答案为
;
其中,
是常数。
实例 (IV)
思考一个典型的偏微分方程,
。
首先,猜想答案的形式为
。
代入偏微分方程,
。
或者,用单撇号标记,
。
将方程式的两边除以
,则可得
。
由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数
:
。
因此,可以得到两个新的常微分方程式:
、
。
这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若,
,则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为
,
;
其中,
是振幅常数,
是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。
参阅
参考文献
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。