分数有各种不同的用法与意义:
- 两个整数的比例:
,这是两个数量的比较关系。
- 有理数:可以表达为两个整数的分数的数称为有理数。就数系来说,整数分数与有理数是同义词。
- 整数除法:
,结果会是一个整数、有限小数或循环小数。
- 等分:
表示将全部分成三等份,然后只取其中的一份。这称为单位分数 (unit fraction),参见古埃及分数。
也就是
这个整数的倒数。
这些概念在数学里都是相通的,只是在不同的使用场合中有其实际意义。
- 最简分数(既约分数)(Irreducible Fraction)
- 分子是整数,分母是正整数,且分子和分母互素的分数。例如:
![{\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5167b85d479e507b51b21457aaaf216d3ea8abdb)
- 真分数(Proper Fraction)
- 除商小于1、大于0的分数,即分子小于分母的分数。当分子一样大的时候,分母越大则值就越小,当分母一样的时候,分子越大,数值就越大。例如:
![{\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67acd47aeae4a966cae0a4ad253eb7754f4cbec0)
- 假分数(Top-heavy/Improper Fraction)
- 假分数是指除商不小于1的分数,即分子等于或大于分母的分数,可写成带分数。例如:
和![{\displaystyle {\frac {8}{~{}8~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b78f99913720f81fa15a57a2c9f438779046967)
- 带分数(mixed numeral、Mixed Fractions、Mixed Numbers[1])
- 一个整数(whole number)加一个真分数,例如
,读作“a又c分之b”;又例如
,就是一又二分之一。可写成假分数,与
等价。
- 十进制分数(decimal fraction)
- 分母为
的次方的分数称为十进制分数,通常使用小数的形式来表达,例如,
一般记为
,也可以百分率简记为
,或是以
的幂记为
。
- 单位分数
- 分子为1,分母是整数的分数。也可视为该整数的倒数。例如:
![{\displaystyle {\frac {1}{~{}99~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64192a0f00fbcb78078e8d5e619ee3b6c9cd0cf5)
- 古埃及分数(Egyptian fraction)
- 将分数表达成单位分数之和。例如:
![{\displaystyle {\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65da845b914cbbf1483789fb7a15aeec5f02be5b)
- 繁分数
- 分子和/或分母包含了分数的分数,例如
。可以用“外乘外、内乘内”的方法简化,即前面的式子等于
。
- 连分数
- 外观如
的分数,其中
是整数。若只有有限个
非零,则连分数是一个分数。
分数如自然数般,跟从互联律、结合律、分配律和反除以零的规则。
一个分数约分后或扩分后,其分数与原来之分数的值相等,称为等值分数。
“约分”是将一个分数的分子和分母同除以一个比1大的整数(它们的公约数)。
约分后的分数和原来分数的值相等。
前面的数字的分子和分母皆除以三
- 扩分
“扩分”是将一个分数的分子和分母同乘以比1大的数。扩分后的分数和原来分数的值相等。
前面的数字的分子和分母皆乘以二
- 通分
“通分”是利用约分或扩分,将两个分母不同的分数,分别化为同分母的分数。
笔算分数的加减法时,必须将分母用予倍的方法化成同一数字才能进行同级分数之和或差,这个过程称为“扩分”、“通分”、“通分母扩分子”等等,为了方便地求得所须分母,计算时一般以加数和被加数的最小公倍数作为新的分母。然后将事先倍大了的分子加上,合成和后再作约简。例如:
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5d741475f4e60ddfa56d42844605ba62c48b1c)
![{\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58c9375c48e00b3ef525b3eeb81a831355e4260)
分数乘法最晚在中国秦代即有,里耶秦简博物馆馆长彭成刚表示:里耶秦简秦朝“九九表”每枚木牍上竖写的数字连起来就是一个乘法运算,更为惊奇的是,中国当时还出现了分数乘法,例如二乘以二分之一等于一。分数的乘除无视分子母的特性,将分子和分母各自处理便可,但是由于整数除法亦容易引起小数,加上不适合出现于分数形式,而且除法也是乘法的逆函数,故此计算时一般将被除数化成其倒数,把除法改为乘法较为方便。例如:
![{\displaystyle \quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97b548ddd3e8401bf76157aabf208d54e7f1342)
![{\displaystyle ={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad09b2688fc2eb14539b4c731e77c3f0fcab5cf0)