七边形

七边形（英语：heptagon）在几何学中，是指有七条边和七个顶点的多边形^[1]，其内角和为900度^[2]。七边形有很多种，其中对称性最高的是正七边形。其他的七边形依照其类角的性质可以分成凸七边形和非凸七边形，其中凸七边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸七边形可以在近一步分成凹七边形和星形七边形，其中星形七边形表示边自我相交的七边形。

正七边形
一个正七边形
类型	正多边形
对偶	正七边形（本身）
边	7
顶点	7
对角线	14
施莱夫利符号	{7}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
对称群	二面体群 (D7), order 2×7
面积	${\displaystyle {\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}}$ ${\displaystyle \approx 3.633912444002a^{2}}$
内角（度）	${\displaystyle {\frac {900}{7}}^{\circ }=\,}$${\displaystyle 128{\frac {4}{7}}}$ o 128.57142857143°
内角和	900°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形
查 论 编

正七边形

正七边形是指所有边等长、所有角等角的七边形，由七条相同长度的边和七个相同大小的角构成，是一种正多边形，因此在施莱夫利符号中可以用 ${\displaystyle \left\{7\right\}}$ 表示。正七边形的内角是${\displaystyle {\frac {5\pi }{7}}\,}$弧度，为128.571428度，其中角度的小数为循环小数，值为${\displaystyle {\frac {4}{7}}\,}$。

面积

正七边形的面积（A）可以利用其边长（a）来计算：

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}}$。

将正七边形的顶点与几何中心相连可以将正七边形分成七个扇三角形，这些三角形可再借由边心线将之一分为二。正七边形的边心距是${\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}$正切值的一半，而这十四个小三角形的面积就会是四分之一倍的边心距。

其确切的代数式是三次方程${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1}$，其中的一个根为${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}}$^[3]，在复数中表示为：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13-3{\sqrt {-3}})}}+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13+3{\sqrt {-3}})}}\right)}},}$

其中，复数中的虚数部最后会互相抵销使结果为实数。这个表达式不能被全部是实数的式子重写，也不能透过化简消去其虚数的部分。

构造

正七边形的边数7是一个皮尔庞特素数但不是费马素数，因此不能用没有刻度的直尺和圆规来作图，但可以用一把有刻度的尺来作图。这种作图法称为纽西斯作图法，正七边形也可以用折纸作出或者用圆锥曲线作出。单用无刻度直尺和圆规不可能作出正七边形是因为，通过观察发现，${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$是不可约三次多项式${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-2x-1\,}$一个零点。因此这个多项式是：${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}}$的最小多项式。

然而尺规作图仍可以作出近似的正七边形^[4]。

从内角完成正七边形的二刻尺作图。	外接圆半径为${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$的正七边形二刻尺作图动画。此法根据安德鲁·马太·格里森（英语：Andrew M. Gleason）[3]基于三等分角。
仅仅使用直尺和圆规，可以近似作出正七边形，误差大约为${\displaystyle \approx 0.2\%}$。设A为圆周上一点，作圆弧${\displaystyle BOC}$。那么${\displaystyle BD={1 \over 2}BC}$大约就是圆内接正七边形的边长。	另外一种正七边形的近似作图 ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB = 51.42855809...° ; 360° ÷ 7 = 51.42857142...° ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB - 360° ÷ 7 = -0.00001333...° (1 arcsec = 0.00027...°) 作图误差: 在外接圆半径r = 10 km时，第一条边的绝对误差大约是-2.1 mm.

近似作图

正七边形的近似作图

下图显示了一个具有约0.2％误差的正七边形近似作图，近似值来自于${\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{7}}\approx {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$（即${\displaystyle 0.867\,767\cdots \approx 0.866\,025\cdots }$）。此法由阿尔布雷希特·丢勒提出^[5]

特定边长的近似作图

若将一个七边形的边长以${\displaystyle \scriptstyle {S=3{\tfrac {2}{11}}}}$单位长绘制在圆半径为${\displaystyle \scriptstyle {R=3{\tfrac {2}{3}}}}$的外接圆上时，其绝对误差可以降低到0.00013%。

这种近似值来自于${\displaystyle \scriptstyle {{\tfrac {S}{R}}=\ 2\sin {\tfrac {\pi }{7}}\approx 1-\left({\tfrac {4}{11}}\right)^{2}}}$。这种正七边形画法误差十分小，即使绘制外接圆半径1公里大的正七边形误差也仅有1.1毫米。

对称性

正七边形的对称群。顶点的颜色是依照其对称特性绘制

正七边形具有14阶的Dih₇二面体对称（英语：Dihedral_symmetry），由于7是一个素数，因此其只有一个子群：Dih₁以及2个环形对称群：Z₇和Z₁。

对角线和七边三角形

若一正七边形边长为a、最短对角线为b、最长对角线为c，其满足等式${\displaystyle a<b<c}$ ^{[6]:Lemma 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ （倒数和等式（英语：optic equation））

命名

七边形的英文名称是heptagon，而有时也叫做septagon，"sept-"（septua-的母音音节省略，是一个从拉丁语引进的数学前缀）来表示“七、七的”，而不是hepta-（一个从希腊语引进的数学前缀，应用于大多数英语中数学、化学等学术类术语命名的前缀）。

使用

画上对角线分成三角形的七边形泥板。在公元前2000前被用在学校教导几何图形概念^[7]

于2006年，英国正流通两种正七边形硬币，即大不列颠五十便士（50p）和大不列颠二十便士（20p）。二十欧分硬币侧表面上的凹形也使它与正七边形极为相似。严格地说，这些硬币的形状是一个曲线的七边形，它们被称作定长曲线：这些外表面呈曲线的边能够便于硬币在自动贩卖机里面更加流畅光滑地滚动。

在双曲面上，正七边形可构成正七边形镶嵌。下图是正七边形镶嵌的庞加莱投影

正七边形镶嵌

扭歪七边形

一个正扭歪七边形，位于六维正七胞体中

扭歪七边形，又称不共面七边形，是指顶点并非完全共面的七边形。除了三维空间的扭歪七边形之外，扭歪七边形亦可以在一些高维度的多胞体中找到，通常会以皮特里多边形的方式存在。例如六维正七胞体的皮特里多边形就是一个扭歪七边形，其具有A₁₀ [3,3,3,3,3] 的考克斯特群的对称性^[8][9]。

图

K₇完全图经常会被以正七边形的图形绘制来描述其21条连接边。这个图与六维正七胞体的正投影图（英语：orthographic projection）同为7个顶点和21条边。

六维正七胞体

另外K₇完全图也显示了七边形的14条对角线。

自然界中的七边形

部分植物会以七边形的方式生长，例如部分的仙人掌：

• 
  仙人掌

参见

• 七边形数

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Heptagon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Polygons – Heptagons. coolmath.com. [2016-08-28]. （原始内容存档于2016-08-28）.
3. Gleason, Andrew Mattei. Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 186 (Fig.1) –187 (PDF). The American Mathematical Monthly. March 1988, 95 (3): 185–194 [2017-06-04]. doi:10.2307/2323624. （原始内容 (PDF)存档于2015-12-19）.
4. Heptagon Construction. toon.macharis.be. [2018-01-29]. （原始内容存档于2012-12-06）.
5. G.H. Hughes, "The Polygons of Albrecht Dürer-1525, The Regular Heptagon", Fig. 11 （页面存档备份，存于互联网档案馆） the side of the Heptagon (7) Fig. 15, image on the left side （页面存档备份，存于互联网档案馆）, retrieved on 4th December 2015
6. Abdilkadir Altintas, "Some Collinearities in the Heptagonal Triangle （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Forum Geometricorum（英语：Forum Geometricorum） 16, 2016, 249–256.
7. Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
8. Davis, Michael W., The Geometry and Topology of Coxeter Groups (PDF), 2007 [2016-08-28], ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020, （原始内容 (PDF)存档于2011-10-09）
9. Klitzing, Richard. 6D uniform polytopes (polypeta) x3o3o3o3o - hix. bendwavy.org.