σ-代数
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在数学中,某个集合 X 上的 σ-代数(英语:σ-algebra)又叫 σ-域(英语:σ-field),是 X 的某群子集合所构成的特殊子集族。这个子集族对于补集运算和可数个并集运算具有封闭性(因此对于可数个交集运算也是封闭的)。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。
σ-代数的概念大约起始于1900~1930年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候,都需要用到。
动机
σ-代数的提出有至少三个作用:定义测度,操作集合的极限,以及管理集合所表示的部分信息。
测度
测度是给的子集赋予非负实数值的函数;可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲,若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和,即使有无穷多个这样的不交集。
定义
注意到定义第3条的,意思是
和自然数系
等势,直观的意思就是
里的元素跟自然数一样多。
以上定义的直观意义为:一群 的子集合所组成的集合
,为
上的一个 σ-代数意思是满足:
在测度论里有序对 会被称为一个可测空间。而任何在
中的子集
,则称为可测集合(measurable set);而在概率论中,
被称为事件族(family of events),
中的子集
则称为事件。
例子
最小σ-代数
证明 |
---|
根据
以下将逐条检验σ代数的定义,来验证 (1) 对所有的集合族 (2)若 若 (3)可数个并集也在 若 所以再从(a)右方,就可以得到: 综上所述, |
根据以上的定理,可以做以下的定义:
例子
- 设集合
,那么
是集合
上含有
的σ-代数中最“小”的一个。
性质
σ-代数是一个代数也是一个λ系,它对集合的交集、并集、差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。
参考来源
- Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950.,第28页
- Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2.,第45-46页