連續

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

連續者，無突變也。

定義

拓撲空間甲乙，有甲映射乙曰天（f）。

甲之屬乾（a），其象曰坤（f(a)=b）。凡坤之鄰域（U），乾必有鄰域（V）其象含于其中（f(V)⊆U），則曰天連續于乾。

若天連續于甲之所有點，同乎乙之開集（U）原象（f^-1(U)）咸開，則曰天連續于甲。

度量空間

甲乙皆度量空間。天連續于乾，同乎凡以坤為心之開球（B(b,ε)），必有以乾為心之開球（B(a,δ)），其象含以其中（f(B(a,δ)⊆B(b,ε)）；同乎凡有正數子（ε>0），必有正數丑（δ>0），相去乾小于丑者（d(x,a)<δ），其象相去坤必小于子（d(f(x),b)<ε）。意謂變化愈小，其象之變化亦小。

實數函數

甲乙乃區間。天連續于乾，同乎凡有正數子（ε>0），必有正數丑（δ>0），與乾相差小于丑者（|x-a|<δ），其象與坤相差必小于子（|f(x)-b|<ε）。^[一]

性

• 天（f）連續于乾（a），地（g）連續于乾之象（f(a)），則地複合天（g o f）亦連續于乾。
• 天（f）連續于乾（a），地（g）亦連續于乾，則天並地（x→(f(x),g(x))）亦連續于乾。
• 若倍域為實數集，則連續函數之加減乘咸連續。若除數非零，則函數之商亦連續也。

例

• 多項式，連續也。
• 行列式，連續也。
• 實數四則，連續也。
• 三角函數，連續也。
• 有函數，有理數射壹，無理數射零，無處連續也。（${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Q} \end{cases}}}$ ）
• 有函數，有理數射己，無理數射零，惟連續于零也。（${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\x{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Q} \end{cases}}}$ ）
• 有函數，大于零者射壹，不大于零者射零，惟不連續于零也。（${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\leq 0\\1{\mbox{ if }}x>0\end{cases}}}$ ）

見

• 連續函數術語