From Wikipedia, the free encyclopedia
Trong toán học, cho hai nhóm, (G, ∗) và (H, ·), phép đồng cấu nhóm từ (G, ∗) thành (H, ·) là một hàm h: G → H sao cho với mọi u và v trong G nó thoả mãn
trong đó phép toán trong nhóm ở vế trái của phương trình là của G và ở vế phải là của H.
Từ tính chất này, ta có thể suy ra rằng h ánh xạ phần tử trung hòa eG của G lên phần tử trung hòa eH của H,
và nó cũng ánh xạ các nghịch đảo của G thành các nghịch đảo của H theo nghĩa
Do đó ta có thể nói rằng h "tương thích với cấu trúc nhóm".
Trong một số lĩnh vực toán học, khi ta xem xét các nhóm đi kèm thêm cấu trúc phụ, phép đồng cấu đôi khi được hiểu là một ánh xạ không chỉ bảo toàn cấu trúc nhóm (như trên) mà còn cả cấu trúc phụ. Ví dụ, một phép đồng cấu của các nhóm tôpô thường được yêu cầu là phải liên tục.
Mục đích của việc xác định phép đồng cấu nhóm là tạo ra các hàm bảo toàn cấu trúc đại số. Một định nghĩa tương đương của phép đồng cấu nhóm là: Hàm h: G → H là phép đồng cấu nhóm nếu bất cứ khi nào
a ∗ b = c thì ta có h(a) ⋅ h(b) = h(c).
Nói cách khác, theo một nghĩa nào đó, nhóm H có cấu trúc đại số tương tự như G và phép đồng cấu h bảo toàn điều đó.
Chúng ta định nghĩa hạt nhân của h là tập hợp các phần tử trong G được ánh xạ lên phần tử đồng nhất trong H
và ảnh của h là
Hạt nhân và ảnh của một phép đồng cấu có thể được hiểu là cách đo lường độ gần giống với một phép đẳng cấu. Định lý đẳng cấu đầu tiên phát biểu rằng ảnh của một đồng cấu nhóm h (G) đẳng cấu với nhóm thương G/ker h.
Hạt nhân của h là nhóm con chuẩn tắc của G và ảnh của h là nhóm con của H:
Khi và chỉ khi ker(h) = {eG }, thì phép đồng cấu h là một đơn cấu nhóm, tức là, h có tính đơn ánh (một đối một). Đơn ánh trực tiếp cho ta biết chỉ có duy nhất một phần tử trong hạt nhân cung cấp tính đơn ánh:
Với mọi số phức u hàm fu: G → C* định nghĩa bởi:
là một đồng cấu nhóm.
Nếu h: G → H và k: H → K là hai đồng cấu nhóm, thì k ∘ h: G → K cũng là đồng cấu nhóm. Điều này cho thấy lớp của mọi nhóm, cùng với đồng cầu nhóm làm cấu xạ, tạo thành một phạm trù.
Nếu G và H là hai nhóm abel (giao hoán), thì tập Hom(G, H) chứa tất cả đồng cấu nhóm từ G đến H cũng là một nhóm abel. Tổng h + k được định nghĩa như sau:
(h + k)(u) = h(u) + k(u) với mọi u thuộc G.
Ta cần dùng tính giao hoán của H để chứng tỏ h + k là một đồng cấu nhóm.
Phép cộng đồng cấu tương thích với phép hợp đồng cấu theo nghĩa: Nếu f thuộc Hom(K, G), h, k là các phân tử thuộc Hom(G, H), và g thuộc Hom(H, L), thì:
(h + k) ∘ f = (h ∘ f) + (k ∘ f) và g ∘ (h + k) = (g ∘ h) + (g ∘ k).
Bởi phép hợp có tính kết hợp, Điều này cho thấy tập End(G) của mọi tự đồng cấu của một nhóm abel tạo thành một vành, hay gọi là vành tự đồng cấu của G. Ví dụ chẳng hạn, vành tự đồng cấu của nhóm abel bao gồm tổng trực tiếp của m tập Z/nZ đẳng cấu với vành các ma trận cỡ m x m với phần tử thuộc Z/nZ.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.