From Wikipedia, the free encyclopedia
Trong toán học, không gian compact là một khái niệm rất quan trọng của tô pô. Tùy theo không gian ta xét là không gian mêtric hay không gian Euclide mà có những định nghĩa khác nhau so với không gian tô pô tổng quát.
Một ví dụ cơ bản về không gian compact là không gian con của với tô pô Euclide. Tức là nếu lấy tập vô hạn phần tử rời nhau trong thì tập đó sẽ chứa ít nhất một điểm tụ. Ví dụ tập
thì sẽ là một điểm tụ của . Tổng quát hơn, định lý Heine-Borel cho ta là không gian compact (không gian là con của với topo Euclide) khi và chỉ khi đóng và bị chặn trong . Vì vậy, những khoảng mở, nửa khoảng và là không compact.
Như ta đã biết, có nhiều cách định nghĩa một không gian compact, ví dụ như compact tổng quát, compact dãy.... Các định nghĩa sẽ phụ thuộc vào cấp độ tổng quát của không gian topo. Ví dụ:
Tuy nhiên, trong không gian topo tổng quát, khái niệm compact dãy sẽ không tương đương với khái niệm compact tổng quát. Nghĩa là không gian được gọi là compact khi và chỉ khi với mọi phủ mở của , ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Khi đó, một tập đóng và bị chặn trong không gian Euclide là compact tổng quát được chứng minh qua định lý Heine-Borel.
Xét là một tập hợp con của một không gian tô-pô . được gọi là một tập con compact của nếu điều kiện sau được thỏa mãn: nếu và với là các tập con mở của , thì tồn tại một tập con hữu hạn sao cho (nghĩa là với mọi phủ mở của , có một phủ hữu hạn các tập mở bao hàm nó). Ngắn gọn, là một tập con compact khi và chỉ khi "mọi phủ mở đều có phủ con hữu hạn".[1]
Một không gian tô-pô được gọi là compact nếu tập con tầm thường là một tập con compact.
Cho là không gian con của không gian tô pô . Cho là tập chỉ số của một phủ mở của . Với mỗi là chỉ số của một tập mở của , thì ta có mở trong sao cho . Vì vậy, ta có họ các tập mở của mà có hội chứa . Nói cách khác, nếu có một họ các tập mở trong có hội chứa , thì họ là một phủ mở của . Do đó, là không gian con compact của nếu cho họ là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa , thì tồn tại và sao cho có hội chứa . Vì vậy, ta có thể định nghĩa không gian con của là compact qua hai cách: dùng họ phủ mở của hoặc họ các tập mở trong có hội chứa .
Nói cách khác, một tập con là compact khi và chỉ khi nó là một không gian con compact với tô-pô cảm sinh.
là phủ nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn.
Ta có là không gian metric với metric định bởi
là không gian compact. Điều này được suy ra từ định lý Arzela-Ascoli.
Ý nghĩa của khái niệm này: Để đưa những vấn đề mang tính địa phương về toàn cục, cần phải hữu hạn hóa quá trình vô hạn. Nói cách khác, mỗi sự kiện phụ thuộc ở phạm vi địa phương (xét trong lân cận tại mỗi điểm thuộc A), toàn bộ tập A được bao phủ bởi tất cả các lân cận ấy. Nếu chỉ cần một số hữu hạn các lân cận ấy đủ để bao phủ A thì ta có thể chọn được những đại lượng lớn nhất, bé nhất liên quan đến tính hữu hạn này.
Trong tiếng Anh, compact có nghĩa là "nén chặt, gọn gàng, tinh tế". Qua định nghĩa trên, ta thấy một tập compact khá gọn gàng: Tưởng chừng phải có vô hạn cái túi để đựng tập A nhưng thật ra chỉ cần hữu hạn cái là đủ.
Trước đây, một số nhà toán học Việt Nam đưa những thuật ngữ tiếng Việt để dịch khái niệm này như là "tập compact", "tập cơm nén" (quá thuần Việt) hay "tập áp súc" (từ Hán-Việt). Có lẽ không được hưởng ứng nhiều, ngày nay ta dùng luôn từ compact, đôi khi phiên âm thành "com-pắc".
Khá nhiều định lý gắn chặt với tính chất compact của tập như:
Một không gian là compact nếu và chỉ nếu mỗi họ các tập đóng với tính chất giao hữu hạn có giao khác rỗng.
Với tập con của không gian Euclide , những tính chất sau là tương đương:
1. là compact.
2. Mỗi dãy trong có dãy con hội tụ.
3. là đóng và bị chặn (định lý Heine-Borel).