Trường vỡ

Trong đại số trừu tượng, một trường vỡ của một đa thức bất khả quy ${\displaystyle P(X)}$ trên một trường nhất định ${\displaystyle K}$ (tức là ${\displaystyle P(X)\in K[X]}$) là một mở rộng trường của ${\displaystyle K}$ được tạo bởi một nghiệm ${\displaystyle a}$ của ${\displaystyle P(X)}$.^[1] Một trường vỡ là một mở rộng đơn ứng với một phần tử đại số.^[2]

Ví dụ, nếu ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ và ${\displaystyle P(X)=X^{3}-2}$ thì ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$ là một trường vỡ của ${\displaystyle P(X)}$.

Trường vỡ của một đa thức không nhất thiết chứa tất cả các nghiệm của đa thức đó: trong ví dụ trên, trường ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$ không chứa hai nghiệm phức của ${\displaystyle P(X)}$ (cụ thể là ${\displaystyle \omega {\sqrt[{3}]{2}}}$ và ${\displaystyle \omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}}}$ với ${\displaystyle \omega }$ là một căn bậc ba nguyên thủy của đơn vị). Đối với một trường chứa tất cả các nghiệm của đa thức, xem trường phân rã.

Ví dụ

Một trường vỡ của ${\displaystyle X^{2}+1}$ trên ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Là ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Nó cũng là một trường phân rã.

Trường vỡ của ${\displaystyle X^{2}+1}$ trên ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ là ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$.

Xem thêm

• Trường phân rã

Chú thích

1. Escofier (2001), tr. 62
2. Nguyễn Chánh Tú (2006)

Tham khảo

• Jean-Paul Escofier, 2001, Galois Theory, Springer, ISBN 0-387-98765-7
• Nguyễn Chánh Tú, 2006, Mở rộng trường và lý thuyết Galois