Căn bậc ba

Trong toán học, căn bậc ba của một số x là một số a sao cho a³ = x.^[2]

Đồ thi của hàm y = ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ với ${\displaystyle x\geq 0}$.^[1] Đồ thị đầy đủ là một đồ thị đối xứng khi là hàm phương trình bậc lẻ (odd function) với miền giá trị x bất kỳ. Tại x = 0, đồ thị này là một trục dọc (trục tung, vertical tangent).

Căn bậc ba trong tập hợp số thực

Trong tập hợp số thực:

• Mỗi số thực a có duy nhất 1 căn bậc 3.
• Căn bậc ba của số thực dương là số thực dương.
• Căn bậc ba của số thực âm là số thực âm.
• ${\displaystyle a<b\Leftrightarrow {\sqrt[{3}]{a}}<{\sqrt[{3}]{b}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{ab}}={\sqrt[{3}]{a}}{\sqrt[{3}]{b}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{3}]{a}}{\sqrt[{3}]{b}}},\forall b\neq 0}$

Căn bậc ba trong tập số phức

Tất cả số thực (trừ số không) có chính xác một căn bậc ba số thực và một cặp căn bậc 3 số phức (complex conjugate), và tất cả số phức (trừ số 0) có 3 giá trị căn bậc ba phức.

Các ví dụ

Căn bậc 3 của số thực 8, biểu diễn ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}$ hoặc ${\displaystyle 8^{\frac {1}{3}}}$, là 2, vì 2³ = 8, trong khi đó các căn bậc 3 phức của 8 là ${\displaystyle -1+{\sqrt {3}}i}$ và ${\displaystyle -1-{\sqrt {3}}i.}$ Ba giá trị căn bậc ba của −27i là

${\displaystyle 3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{và}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.}$

Căn bậc ba của 0 là 0 vì 0³ = 0.

Căn bậc ba của -125 là -5, vì (-5)³ = -125.

Xem thêm

• Căn bậc n
• Căn bậc hai