چار سب سے چھوٹی جامع عدد ہے، اس کے مناسب تقسیم 1 اور 2 ہیں ۔ [1] 4 سب سے چھوٹا مربع پرائم ہے (p 2) اور اس شکل میں واحد عدد ہے ۔ 4 ایک بنیادی نمبر سے زیادہ واحد مربع بھی ہے ۔
ریاضی میں چار ابتدائی ریاضی کی کارروائیاں ہیں: اضافہ، تخفیف، ضرب اور تقسیم۔
ایک عدد 4 کا ضرب ہوتا ہے اگر اس کے آخری دو ہندسے 4 کا ضرب ہوتے ہیں ۔ [2] مثال کے طور پر، 1092 4 کا ضرب ہے کیونکہ 92 = 4 × 23۔
اس کے علاوہ ، 2 + 2 = 2 × 2 = 2 2 = 4۔ Knuth کے اوپر تیر کے اشارے میں پیٹرن کو جاری رکھنا ، 2 ↑↑ 2 = 2 ↑↑↑ 2 = 4 اور اسی طرح، اوپر والے تیروں کی کسی بھی تعداد کے لیے ۔ [3] ( یعنی، 2 [n] 2 = 4 ہر مثبت عدد n کے لیے ، جہاں a [n] b ہائپر آپریشن ہے ۔ )
ایک چار رخا ہوائی جہاز کی شکل ایک چوکور (چوکوار) ہے، جسے بعض اوقات ٹیٹراگون بھی کہا جاتا ہے ۔ اسے مزید مستطیل ، آئتاکار ، مربع ، پتنگ یا رومبس کے طور پر درجہ بندی کیا جا سکتا ہے ۔
چار چہروں کے ساتھ ساتھ چار عمودیوں والی ایک ٹھوس شکل ایک ٹیٹراہیڈرون ہے ، [4] اور 4 ایک پولی ہیڈرون کے چہروں کی سب سے چھوٹی ممکنہ تعداد ( نیز عمودی ) ہے ۔ [5] ریگولر ٹیٹراہیڈرون سادہ ترین افلاطونی ٹھوس ہے ۔ [6] ایک ٹیٹراہیڈرون ، جسے 3- سیمپلیکس بھی کہا جا سکتا ہے ، اس کے چار تکونی چہرے اور چار عمودی ہوتے ہیں۔ یہ واحد سیلف ڈوئل ریگولر پولی ہیڈرون ہے۔ [7]
چار جہتی جگہ سب سے زیادہ جہتی جگہ ہے جس میں تین سے زیادہ محدب باقاعدہ اعداد و شمار ہوتے ہیں :
- دو جہتی: لامحدود بہت سے محدب باقاعدہ کثیر الاضلاع۔
- سہ جہتی: پانچ محدب ریگولر پولی ہیڈرا ( پانچ افلاطونی ٹھوس) ۔
- چار جہتی: چھ محدب باقاعدہ پولیچورا۔
- پانچ جہتی اور ہر اعلی جہتی: تین باقاعدہ محدب پولی ٹاپس (باقاعدہ سمپلیکس، ہائپر کیوبس، کراس پولی ٹاپس ) ۔
چار جہتی تفریق کئی گنا میں کچھ منفرد خصوصیات ہیں۔ صرف ایک ہی تفریق ڈھانچہ ہے ۔ سوائے اس کے کہ جب n = 4، اس صورت میں بے شمار بہت سے ہیں ۔
سب سے چھوٹے غیر چکری گروپ میں چار عناصر ہوتے ہیں ۔ یہ کلین چار گروپ ہے ۔ [8] چار سب سے چھوٹے غیر معمولی گروہوں کی ترتیب بھی ہے جو سادہ نہیں ہیں ۔
چار واحد عدد n ہے جس کے لیے ( غیر معمولی ) متبادل گروپ A n سادہ نہیں ہے ۔
چار رنگوں کا نظریہ کہتا ہے کہ ایک پلانر گراف ( یا مساوی طور پر ، دو جہتی خطوں جیسے ممالک کا فلیٹ نقشہ) کو چار رنگوں کا استعمال کرتے ہوئے رنگین کیا جا سکتا ہے ، تاکہ ملحقہ عمودی ( یا علاقے ) ہمیشہ مختلف رنگ ہوں ۔ [9] تین رنگ ، عام طور پر، اس کی ضمانت کے لیے کافی نہیں ہیں۔ [10] سب سے بڑے پلانر مکمل گراف میں چار عمودی خطوط ہیں ۔ [11]
Lagrange کا چار مربع نظریہ کہتا ہے کہ ہر مثبت عدد کو زیادہ سے زیادہ چار مربع نمبروں کے مجموعہ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے ۔ تین ہمیشہ کافی نہیں ہوتے ہیں ۔ مثال کے طور پر 7 کو تین مربعوں کے مجموعہ کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا ۔ [12]
ہر ایک قدرتی عدد جو 4 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے دو قدرتی اعداد کے مربعوں کا فرق ہے ، یعنی 4x = y2 − z2 ۔
چار اعلی درجے کی عمومی کثیر الجہتی مساوات ہے جس کے لیے ریڈیکلز میں حل موجود ہے ۔ [13]
چار بنیادی نمبر سسٹمز ہیں : حقیقی نمبر , عقلی اعداد , انٹیجرز اور قدرتی نمبر . Hurwitz کے نظریہ کے تحت حقیقی اعداد کی مزید توسیع بتاتی ہے کہ چار معیاری تقسیم الجبرا ہیں: حقیقی اعداد ، پیچیدہ اعداد , quaternions اور آکٹونینز . Cayley-Dickson تعمیرات کے تحت ، sedenions مزید چوتھی توسیع کا قیام . حقیقی اعداد ترتیب دیے گئے ہیں، کمیوٹیٹیو اور ایسوسی ایٹیو الجبرا کے ساتھ ساتھ پاور-ایسوسی ایٹیٹی کے ساتھ متبادل الجبرا۔ پیچیدہ نمبرز حقیقی کی چاروں ضرب الجبری خصوصیات کا اشتراک کریں ۔ ، بغیر حکم کے۔quaternions ایک مزید بدلنے والی الجبری خاصیت کو کھو دیتے ہیں ، جب کہ ہم آہنگی ، متبادل اور طاقت سے وابستہ خصوصیات رکھتے ہیں ۔ octonions متبادل اور طاقت سے منسلک ہوتے ہیں ، جبکہ sedenions صرف power-associative ہوتے ہیں ۔ ان چار معیاری تقسیم الجبرا کے سیڈینیشنز اور تمام مزید توسیعات غیر معمولی صفر تقسیم کرنے والوں کے ساتھ مکمل طور پر طاقت سے وابستہ ہیں ، جو انھیں غیر تقسیم الجبرا بناتی ہے ۔ طول و عرض 1 کی ویکٹر اسپیس ہے، جبکہ ، اور بالترتیب 2 ، 4 اور 8 کے طول و عرض کے الجبری نمبر فیلڈز میں کام کریں ۔
Eric W. Weisstein۔ "Tetrahedron"۔ mathworld.wolfram.com (بزبان انگریزی)۔ اخذ شدہ بتاریخ 28 جولائی 2020
David Hilbert، Stephan Cohn-Vossen (1999)۔ Geometry and the Imagination (بزبان انگریزی)۔ American Mathematical Soc.۔ صفحہ: 143۔ ISBN 978-0-8218-1998-2۔ ...the tetrahedron plays an anomalous role in that it is self-dual, whereas the four remaining polyhedra are mutually dual in pairs...
Bryan Bunch, The Kingdom of Infinite Number. New York: W. H. Freeman & Company (2000): 48