Теорема Дезарга

В проєктивній геометрії теорема Дезарга, названа на честь Жерара Дезарга, стверджує: в проєктивному просторі два трикутники перспективно осьові тоді і тільки тоді, якщо вони перспективно центральні.

На малюнку два перспективні трикутники. Відповідні сторони трикутника після продовження перетинаються в точках, які лежать на прямій, що називається вісью перспективи. Прямі проведені через відповідні вершини трикутників перетинаються в точці, яка називається центром перспективи. Теорема Дезарга стверджує, що перша умова є необхідною і достатньою для другої умови.

Позначимо три вершини одного трикутника (меншого розміру) a, b і c а іншого (більший) A, B і C.

Осьова перспектива є тоді і тільки тоді, якщо точки перетину ab і AB, bc і BC, ac і AC — розміщені на одній прямій, яка називається вісь перспективи.

Центральна перспектива є тоді і тільки тоді, якщо три лінії Aa, Bb і Cc — конкурентні в точці, яка називається центр перспективи.

Формулювання

Якщо два трикутники розташовані на площині так, що прямі, які з'єднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку, то три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій.

Обернене також істинне:

Якщо два трикутники розташовані на площині так, що три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій, то прямі, які з'єднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку.

Зауваження

• Ці дві теореми є двоїстими одна для одної, і іноді їх об'єднують у єдину теорему, яка формулюється так: «Два трикутники мають центр перспективи^[1] тоді й лише тоді, коли вони мають вісь перспективи^[2]».
• Теорема Дезарга виконується не у всіх проєктивних площинах. Площини, в яких теорема виконується, називають дезарговими. Наприклад, дійсна проєктивна площина — дезаргова, а площина Молтона — недезаргова.

Історія

Дезарг ніколи не публікував цю теорему, але вона з'явилася в додатку під назвою Універсальний метод М. Дезарга для використання перспективи (Maniére universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) у практичному підручнику по використанню перспективи, опублікованому в 1648^[3] його другом і учнем Авраамом Боссе (1602—1676).^[4]

Див. також

• Теорема Монже

Джерела

• Теорема Дезаргана сайті MathWorld(англ.)

Примітки

1. Тобто точку, в якій перетинаються три прямі, що проходять через пари відповідних вершин.
2. Тобто пряму, на якій перетинаються прямі, що містять відповідні сторони.
3. Smith, (1959, pg.307)
4. Katz, (1998, pg.461)