Теорема Вієта

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули

Якщо ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ — корені многочлена ${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}}$ (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ є елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{1}&=&-(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})\\a_{2}&=&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}\\a_{3}&=&-(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n})\\\cdots &&\cdots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(x_{1}x_{2}\ldots x_{n-1}+x_{1}x_{2}\ldots x_{n-2}x_{n}+\ldots +x_{2}x_{3}...x_{n})\\a_{n}&=&(-1)^{n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\end{matrix}}.}$

Іншими словами ${\displaystyle (-1)^{k}a_{k}}$ дорівнює сумі всіх можливих ${\displaystyle k}$-добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена ${\displaystyle a_{0}\neq 1}$, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на ${\displaystyle a_{0}}$.

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

Доведення використовує рівність

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})}$.

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

Приклади

• Якщо ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ корені квадратного рівняння ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ то

${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$.

• В частковому випадку при ${\displaystyle a=1}$ (квадратне рівняння ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$), то

${\displaystyle \ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}x_{2}=q}$.

---

• Якщо ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ корені кубічного рівняння ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ то

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$.

• В частковому випадку (кубічне рівняння ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$), то

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=p,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-q}$.

---

• Якщо ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ корені рівняння четвертого степеня ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ то

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}}$.

• В частковому випадку (рівняння ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$), то

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=p,}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-q,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=r}$.

Див. також

• Основна теорема алгебри

Джерела

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М. : Наука, 1968. — 331 с.