Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Стохасти́чна ма́триця — матриця, усі елементи якої є невід'ємними, а сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей, зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.
Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна то наведена нижче матриця буде очевидно стохастичною:
Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці дорівнює:
тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.
Якщо стохастична матриця є скінченною, то її спектральний радіус (найбільше абсолютне значення її власних чисел) є рівним одиниці. Очевидно, що 1 є власним значенням будь-якої стохастичної матриці. Для (правої) стохастичної матриці вектор, усі елементи якого рівні 1, буде власним вектором. Для власного значення 1 також існує лівий власний вектор, усі елементи якого є невід'ємними.
Якщо до того ж матриця є нерозкладною, то, згідно з теоремою Перрона — Фробеніуса, 1 буде простим власним значенням (простим коренем характеристичного многочлена) і, якщо — лівий власний вектор, що відповідає одиниці, тобто:
то всі елементи цього вектора є додатними. До того ж буде єдиним лівим власним вектором, усі елементи якого є невід'ємними дійсними числами.
Скінченна стохастична матриця називається регуля́рною, якщо існує таке , що
де — елементи -ї степені матриці , тобто .
Якщо — регулярна стохастична матриця, то
де — вектор розмірності , усі елементи якого рівні одиниці, а — визначений раніше власний вектор.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.