Рівняння Ріккаті
тип звичайного диференційного рівняння другого порядку / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Шановний Wikiwand AI, Давайте зробимо це простіше, відповівши на ключові запитання:
Чи можете ви надати найпопулярніші факти та статистику про Рівняння Ріккаті?
Підсумуйте цю статтю для 10-річної дитини
Рівняння Ріккаті — нелінійне звичайне диференціальне рівняння виду:
Рівняння Ріккаті | |
Названо на честь | Якопо Ріккаті |
---|---|
Формула |
|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
де — неперервні на деякому інтервалі
функції. У випадку
рівняння Ріккаті є лінійним неоднорідним рівнянням першого порядку, а у випадку
— диференціальним рівнянням Бернуллі. В обох цих часткових випадках рівняння Ріккаті легко інтегрується. У загальному, рівняння Ріккаті не розв'язується у квадратурах.
Частковий випадок рівняння вигляду
де — сталі, досліджував Якопо Ріккаті[1] і яке називають спеціальним рівнянням Ріккаті.
Рівняння ще цікаве насамперед з огляду на такий факт. Даніель Бернуллі близько 1725 року встановив, що спеціальне рівняння Ріккаті допускає відшукання загального розв'язку в елементарних функціях, якщо
або
, де
— ціле число. У 1841 році Жозеф Ліувілль з'ясував, що при всіх інших значеннях
це рівняння вже не можна зінтегрувати в елементарних функціях. Його загальний розв'язок виражається через циліндичні функції.
Рівняння та його узагальнення на випадок систем диференціальних рівнянь мають важливі застосування в багатьох математичних дисциплінах.