Ряд (математика)
поняття в математичному аналізі / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Шановний Wikiwand AI, Давайте зробимо це простіше, відповівши на ключові запитання:
Чи можете ви надати найпопулярніші факти та статистику про Ряд (математика)?
Підсумуйте цю статтю для 10-річної дитини
Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.
Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).
Розглядаються числові ряди двох видів:
- Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі;
- Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі;
Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду[ru].
Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахілла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.
У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу:
- .
Загалом поняття ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем дійсних чисел або полем комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші●.