Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики.
Нехай є диференціальне рівняння з деякими
крайовими умовами (першого роду)
,
, (1)
,
.
Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми
, (2)
де
— деяка неперервна функція, що задовільняє крайові умови (1),
,
, якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a,b] і набувають нульових значень на його кінцях.
Якщо для функції
вираз
є ортогональним до
при
, то
— розв'язок задачі (1).
Якщо ортогональність є тільки при
, то
.
Замість
будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб
![{\displaystyle \int _{a}^{b}[{\hat {A}}[y_{n}(x)]-f(x)]\phi _{k}(x)\,dx=0,1\leq k\leq n.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d9ed74e922a1b359c8b33dff9d7f0de3c7f275)
Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-
![{\displaystyle {\hat {H}}[u(x)]=Eu(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3b13357c3679d9e0a3f7ad492312405b1d77d3)
де H - оператор.
Саму функцію
представляють у
вигляді суми -
.
Метод дає нам саме коефіцієнти
.
Розглянемо функції
на [0,∞).
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*\phi _{i}(x)\,dx=b_{j,i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0164d78ba8f03ccc1edf8ec4b0c1f0f236d5a7be)
Домножимо рівняння
на
і проінтегруємо, маємо -
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[u(x)]\,dx=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*E*u(x)\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344a1e7d30f103412f929574ab26f7d70e1533e6)
.
Введемо наступне позначення -
.
Маємо систему лінійних рівнянь -
.
Яка розв'язується за умови -
.