Локальна теорема Муавра — Лапласа

Локальна теорема Муавра — Лапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.

Теорема

Якщо ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, тоді для k в ${\displaystyle {\sqrt {npq}}}$-околі точки np, існує наближення^[1]

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}e^{-(k-np)^{2}/2npq},\ \ p+q=1,\ p>0,\ q>0.}$

Гранична форма теореми стверджує, що

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi npq}}\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)p^{k}q^{n-k}}{e^{-(k-np)^{2}/2npq}}}\rightarrow 1}$

для ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$

Додаток

Можливо, формулювання стає ясним не відразу, проте практичний зміст теореми простий: при великих значеннях n імовірність спостерігаючи рівно m успіхів можна приблизно розраховувати за формулою: ${\displaystyle P(\mu _{n}=m)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}e^{-(m-np)^{2}/2npq}}$

Якщо вас цікавить імовірність того, що число успіхів буде лежати в деяких межах - ${\displaystyle P(m_{1}\leq \mu _{n}\leq m_{2})}$ - у розрахунках допомагає інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Див. також

• Центральна гранична теорема
• Теорема Пуассона

Джерела

• Портал «Математика»

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)

Примітки

1. Papoulis, Pillai, «Probability, Random Variables, and Stochastic Processes», 4th Edition